エルミート行列の行ベクトルによる分解

質問

4行4列のエルミート行列　H=(H)^t*
　[　()^t*は転置と複素共役をとる記号とします]
は、複素数の2つの行ベクトル v=(a b c d) u=(e f g h)で

　H=(v)^t* v + (u)^t* u　‥(1)

と書けものでしょうか？

(1)の右辺はエルミート行列ですし、Hのパラメータの数16個、
v、uのパラメータ16個（成分が複素数なので）と、パラメータの数は
あっているので、書けるように思うのですが、確信がもてません。

参考文献でも構いません。教えていただけますでしょうか。
なお、私はあまり数学ができる方ではありません。
よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

というより、そのように書けるエルミート行列はごく一部です。ほとんどのエルミート行列がそのようには書けないと思ってもいいくらいです。

例えば、単位行列が反例となります。(4次元空間を考えているので、u,vの両方に直交するベクトルwが存在します。このベクトルにHを作用させた,Hwは必ずゼロになります。)
また、対角成分に負の数を含むエルミート行列は全て反例となります。(例えば、(v)^t* v + (u)^t* uの(1,1)成分は|a|^2+|e|^2なので非負です)

お礼

早速のご回答有難うございます。
反例を示していただき、とても納得ができました。

では、次のように書くことはできないでしょうか？

　H = p u(u)^t* + q v(v)^t* + r w(w)^t* w + s z(z)^t* 　‥(2)

ここでu,v,w,z はHの固有ベクトル、
p,q,r,sはそれぞれの固有ベクトルの固有値です。
ただし、固有ベクトルu,v,x,zは
(a
b
c
d)
のような列ベクトルであり、規格化しておきます。

エルミート行列の固有ベクトルは直交するようなので、
これだと

Hu = pu

のように、固有値の問題にも矛盾してません。
どうでしょうか？よろしくお願いします。

（この質問ではuなどのベクトルを列ベクトルにしました。
表記がコロコロ変わってすいません）

回答No.2

eatern27

>では、次のように書くことはできないでしょうか？
>　H = p u(u)^t* + q v(v)^t* + r w(w)^t* w + s z(z)^t* 　‥(2)
>ここでu,v,w,z はHの固有ベクトル、
>p,q,r,sはそれぞれの固有ベクトルの固有値です。
>ただし、固有ベクトルu,v,x,zは
(中略)
>のような列ベクトルであり、規格化しておきます。

細かい事を気にしないのであれば、書けると考えていいでしょう。対角化可能を言い換えただけです。
ブラケット記法に慣れているのなら、H=Σ α_n |n><n|のように書いてやった方が分かりやすいかもしれません。

ただ、細かいことを言えば、Hの固有値は縮退している場合もあります。このような場合には、u,v,w,zは固有ベクトルであればなんでもいい、という訳ではなく、互いに直交するように選んでやる必要があります。

お礼

大変参考になりました。ブラケット記法は確かに分かりやすいですね。
縮退がある場合が気になりますが、自分で勉強してみます。
ご丁寧な回答、有難うございました。