三角比の２次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教え

質問

三角比の２次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教えて下さい。

３０°≦Θ≦１８０°とする。ｓｉｎ＾２Θ+ｃｏｓΘ－ａ＝０・・・?　について、

（１）　?が解をもつための定数ａの値の範囲を求めよ。

（２）　?が異なる２個の解をもつための定数ａの値の範囲を求めよ。

なのですが、
（１）はｓｉｎ＾２を（１－ｃｏｓ＾２）にして、ａを移行して、
　　　　　－１≦ａ≦５／４ になるのはわかったのですが、

（２）の求め方が解説を読んでも理解できません（汗

答えは１／４＋√３／２≦ａ＜５／４　になるそうです。

どういう風に解けばよいのかがわかりません。
教えて下さい！！

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

cosθ＝tとすると、-1≦t≦√3/2　‥‥(1).
a＝t＋1-t＾2＝-（t-1/2）＾2＋5/4　‥‥(2)　よって、(1)の範囲で(2)のグラフを書くと、(2)のグラフの　Ａ（√3/2、（2√3＋1）/4）、Ｂ（-1、-1）の間。
ところが、2つの解をもつのは、点ＡとＣ（0、1）の間である。
又、θとtとは、30°≦θ≦180°の間で　1対1に対応する（tの1つの値に対して、θの値は1個という意味）から、（2√3＋1）/4≦a＜5/4。

お礼

ありがとうございます！！

解き方を理解できました！
数学の発展だったので、自分の頭では理解不能でしたが、
こうして回答していただいてわかりました。

回答No.3

LightOKOK

osθ=x とおくと
x^2-x+a-1=0　　(-1≦x≦(√3)/2
となりますから
f(x)=x^2-x+a-1……(1)
のグラフを描いて、考えましょう。

(1)のグラフは、軸がx=1/2 ですから
２つの解をもつためには
f(-1)≧0 かつ　f((√3)/2)≧0 かつ D=-4a+5>0 ……(2)

これを計算すれば求まります。

お礼

ありがとうございます！！

まとまっていてわかりやすいです。

回答No.1

nag0720

(2)
(sinθ)^2+cosθ-a=0
1-(cosθ)^2+cosθ-a=0
(cosθ)^2-cosθ+a-1=0
(cosθ-1/2)^2=5/4-a
cosθ=1/2±√(5/4-a)
より、異なる２個の解をもつためには、
a＜5/4

また、30°≦θ≦180°　なので、
-1≦cosθ≦√3/2
よって、異なる２個の解をもつためには、
-1≦1/2-√(5/4-a)　かつ　1/2+√(5/4-a)≦√3/2

-1≦1/2-√(5/4-a)
√(5/4-a)≦3/2
5/4-a≦9/4
-1≦a

1/2+√(5/4-a)≦√3/2
√(5/4-a)≦√3/2-1/2
5/4-a≦(√3/2-1/2)^2=1-√3/2
1/4+√3/2≦a

以上をまとめると、
1/4+√3/2≦a＜5/4

お礼

参考書に載っている解説よりも詳しく回答していただいてありがとうございました！！

他のokwaveの質問を見ても同じ問題がなかったので、質問させてもらいました。