二次方程式の解の配置について

質問

二次方程式x^2+(a+2)x-a+1＝0について

(1)解の一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx＜-2またはx＞0の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ
(2)二つの解のうち少なくとも1つが-2≦x≦0の範囲に在るような定数aのとりうる値の範囲を求めよ

という問題の解説お願いします…

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x^2+(a+2)x-a+1＝0
　(x+1)^2=a(1-x)

y1=(x+1)^2　と　y2=a(1-x) の交点のx座標が２次方程式の解であることから
グラフを使い図的に解けば簡単です。
y1,y2のグラフを図に示す。
y2のグラフは定点(1,0)を通り、aを変化させると定点(1,0)を中心に傾きが変わる直線（定点(0,1)を中心に回転する直線）となります。

(1)
左の(1)の図からy1とy2の交点xの一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx＜-2またはx＞0の範囲にあるような定数aの値の範囲は、図から
　a=1/3の時は２交点のx座標とも-2≦x≦0の範囲に含まれるので除外されます。
　a=1の時はx=0とx=-3で交わりますので-2≦x≦0の範囲に1つのみで含まれる。
　1/3<a<1の時１交点が-2≦x≦0の範囲にあり、他の交点がx<-2の範囲にあります。
つまり、求めるaの範囲は
　1/3<a≦1
と求まります。

(2)
右の(2)の図から、y2のaを変化させた時、交点のx座標のうち少なくとも1つが-2≦x≦0の範囲に在るような定数aの範囲は、図から
　0≦a≦1
と求まります。

お礼

大体わかりました
ただ、　a=1/3の時は２交点のx座標とも-2≦x≦0の範囲に含まれるので除外されます。
　a=1の時はx=0とx=-3で交わりますので-2≦x≦0の範囲に1つのみで含まれる。

で、いきなり1/3と1がでてくるのはなぜですか？

回答No.4

mister_moonlight

こんな簡単な問題をわざわざ難しく解く必要もない。面倒な場合わけも不要で、一挙に解決する。

2の解をα、βとすると、解と係数から　α＋β＝-a-2、αβ＝-a+1　よって　αβ-(α＋β)＝3　→　(α-1)*(β-1)＝4　‥‥(1)
双曲線：(1)をαβ平面上に図示して、直線：β＝-α-a-2を動かす。

＞(1)解の一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx＜-2またはx＞0の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ

-2≦α≦0で　β＜-2　または　β＞0の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよるだけ。図から読み取ればよい。

＞(2)二つの解のうち少なくとも1つが-2≦x≦0の範囲に在るような定数aのとりうる値の範囲を求めよ

これも考え方は同じ。

お礼

解説が難しいのですが…

双曲線：(1)をαβ平面上に図示して、直線：β＝-α-a-2を動かす。

(1)のどこから双曲線と直線に分かれたのですか？
また、β＝-α-a-2は不定数が2つもあるのに動かすってめちゃめちゃ範囲がありそうなんですが…

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の問題(1)についての補足質問について

>ただ、　a=1/3の時は２交点のx座標とも-2≦x≦0の範囲に含まれるので除外されます。
　a=1の時はx=0とx=-3で交わりますので-2≦x≦0の範囲に1つのみで含まれる。

>で、いきなり1/3と1がでてくるのはなぜですか？

A#1に書いたように
>>y2のグラフは定点(1,0)を通り、aを変化させると定点(1,0)を中心に傾きが変わる直線（定点(0,1)を中心に回転する直線）となります。

と書きました。
これと
>解の一つが-2≦x≦0の範囲 … にあるような定数a

のy2の傾き-aの条件を組み合わせて考えれば
-2≦x≦0の範囲にy1とy2の交点が存在するy2の傾き-aの境となる傾きが
　-a=-1と-a=-1/3
つまり
　a=1とa=1/3
であることがわかりませんか？

境界となる場合のaについては、問題の求める条件
>解の一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx＜-2またはx＞0の範囲にあるような定数a
を満たすかを正確にチェックしてやり、求めるaの範囲の不等号に等号が入るか、入らないか確認した方が良いでしょう。

お礼

確かにグラフを書いたらなんとなく分かるような気がしました
ありがとうございます

回答No.2

Knotopolog

＞(1)解の一つが -2≦x≦0 の範囲にあり、他の解が x＜-2
＞ または x＞0 の範囲にあるような定数 a の値の範囲を求めよ

二次方程式 x^2+(a+2)x-a+1＝0 の解は，

x＝(1/2)[－(a＋2)±√(a(a＋8))]　・・・・・（１）

です．また，a について，解くと，

a＝(1＋x)^2/(1－x)　・・・・・（２）

です．この（１）と（２）を見ながら，考えます．

まず，(1)について，

－2≦x≦0 のときは，（２）により，a が (1/3)≦a≦1 であり，
x＜－2 のときは，例えば，x＝－4 で，a＝1.8 となるので， (1/3)≦a≦1 と矛盾する．

また，x＞0 のときは，x＝１で， a は不定（決定できない）かつ， x＞1 で a＜0 となるので，やはり， (1/3)≦a≦1 とは矛盾する．

したがって，(1) の設問には，矛盾があるので，(1) の設問を満たす a の範囲は決められない．

＞(2)二つの解のうち少なくとも1つが -2≦x≦0 の範囲に在るような定数 a のとりうる値の範囲を求めよ

次に，この (2) について，

－2≦x≦0 のときは，（２）により，a が (1/3)≦a≦1 です．

因みに，二次方程式 x^2＋(a＋2)x－a＋1＝0 は，次の事が言えます．

(i)： －8＜a＜0 で，実数解が無く，複素数解となります．

(ii)： a＝0　で　x＝－1　のみ．

(iii)： 0＜a で，２つの実数があります．

(iv)： a＝－８　で　x＝３　のみ．

(v)： 0＜－８ で，２つの実数があります．

(vi)： x＝1　で　a　は不定（定まらない）．

(vii)： x＜1 で，0＜a．

(viii)： x＝－1　で　a＝0．

(iX)： 1＜x で，a＜0．

以上です．

また，下記の WolframAlpha サイトで，二次方程式 x^2＋(a＋2)x－a＋1＝0 のグラフを描いて見て下さい．

WolframAlpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

で，　 x^2+(a+2)x-a+1=0 　を入力して， 〓　をクリックすると，二次方程式の解とグラフが表示されます．入力は，半角文字です．全角文字は使用できません．

試してみて下さい．

また，（２）の　a＝(1＋x)^2/(1－x)　から，a　を　x　の関数とみて，(da/dx)＝0 により，２つの極値として，x＝3　のとき，a＝－8．　x＝－1　のとき，a＝0　が得られます．

（どこかに，勘違いや，間違いがあるかも知れませんので，よく吟味してみて下さい．）

お礼

細かくありがとうございます
(1)は答えによると1/3＜a≦1なので多分どこか間違いです
(2)は(i)から(iX)がどこからそれが出てきたのか分からないです…
しかも「a＝(1＋x)^2/(1－x)　から，a　を　x　の関数とみて，(da/dx)＝0 により，２つの極値として，x＝3　のとき，a＝－8．　x＝－1　のとき，a＝0　が得られます．」はそもそも分数の微分とかやり方が分かりません…

私の知恵と知能が低くこの回答を生かすことができないです すみません