コンデンサの充電 式

質問

ＣＲ回路にて、コンデンサを充電するときの過度現象を示した式を
微分方程式から求めたいのですが、どうしても一箇所謎の部分が
あり、その謎が解けないでいます。
そこを無視すれば、最後まで解けるのですが、どうもすっきりしまん。
質問番号：541549の回答で、下記の様な式を見つけました。
これは、よくＨＰにも乗っているので、珍しくないのですが、
ここが以前からよく分かりませんでした。

>変数分離して
>∫dQ／(ＥＣ－Ｑ）＝∫dt／ＲＣ・・・（１）
>これの一般解は
>－log(ＥＣ－Ｑ）＝(ｔ／ＲＣ）＋a　　(aは積分定数）・・・（２）

（１）式を積分すると、
ｌｎ（ＥＣ－Ｑ）＋ａ＝－ｔ／ＲＣ＋ａ
になるのではないかと思うのですが、
右辺に積分定数ａがつくように、左辺にも積分定数がつくのでは
ないかと思うのですが。
どこの資料を調べてもその辺り詳しく乗ってなくて謎のままです。

左辺の積分定数が無くなる理由は何故でしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

Jyaikosan · ベストアンサー

積分定数の値は任意なので、積分ごとに違う値でかまわないのです。

だから（１）式を積分すると、一般にａ1とａ2を定数として

－ｌｎ（ＥＣ－Ｑ）＋ａ1＝ｔ／ＲＣ＋ａ2

となります。ａ1を移項して

－ｌｎ（ＥＣ－Ｑ）＝ｔ／ＲＣ＋(ａ2－ａ1)

あらためてａ2－ａ1 を ａ とおけば結局

－log(ＥＣ－Ｑ）＝(ｔ／ＲＣ）＋a

です。

お礼

なるほど。
そういうことですか。
ありがとうございます。
なんだか霞が晴れたようで感謝します。

回答No.2

Tacosan

確かにその通りではあって, 一応両辺ともに積分定数がつきます. ただし厳密には
ｌｎ（ＥＣ－Ｑ）＋ａ＝－ｔ／ＲＣ＋ａ
の両辺の積分定数は異なります (だから同じ文字を使ってはいけない).
というところなんですが, 「両辺ともに積分定数がある」式であっても, その一方にある積分定数を他方に移項してしまえば消えてしまいますよね.
だから「途中経過としては両辺に積分定数があるけど, 移項してしまって一方にだけ残す」ということで.

お礼

やはり、途中経過にはあるのですね。
どこを見てもいきなりなくなっているので、疑問でした。
同じ文字を使ってはいけないというのは納得です。
ありがとうございました。