【2次RC回路について質問です（微分方程式）】

質問

添付画像の図のような2段のRC回路について、
・コンデンサC1に蓄電される電荷Q1(t)
・コンデンサC2に蓄電される電荷Q2(t)
の微分方程式はどのようになるでしょうか？

また、入力が以下のようなバイアスのかかった正弦波
Vin(t)= ｛0, t＜0 、 ｛E + Ea・sin(ωt) , t≧0
である場合、Q1(t), Q2(t) はどのような解が得られるのでしょうか？
※Q1(0) = Q0、dQ1(0)/ｄｔ = 0
※Q2(0) = Q0、dQ2(0)/ｄｔ = 0
式の立て方や途中の計算式も教えて頂けると有り難いです。
お手数をおかけしますが、よろしくお願いします。

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回答No.1

dame_dame_

R_1,R_2,R_3を流れる電流をそれぞれ
i_1,i_2,i_3とする
キルヒホッフの法則より
Vin=C_1Q_1+R_1i_1
C_1Q_1=R_2i_2+C_2Q_2
C_2Q_2=R_3i_3

i_1-i_2=dQ_1/dt
i_2-i_3=dQ_2/dt

これらを使ってiを消去すると
(Vin-C_1Q_1)/R_1-(C_1Q_1-C_2Q_2)/R_2=dQ_1/dt　　　(1)
(C_1Q_1-C_2Q_2)/R_2-C_2Q_2/R_3=dQ_2/dt　　　(2)
(1)をQ_2=の形にして(2)に代入すると
Q_1だけの二回微分方程式
Q_1''+SQ_1'+TQ_1=UVin
(S,T,Uは定数、複雑なので略）
となります
逆にQ_1を消去するとQ_2も同じ形になります

あとは初期条件を元に定数係数二階線形微分方程式を解けばよいです
特殊解はAsinwt+Bとすれば求められます

お礼

有難うございました。おかげ様でなんとかなりそうです。