よくわかりません・・

質問

ＣＲ回路のコンデンサＣにかかる電圧Ecの式
Ec(t)=E{1-exp(-1/CR)}
のラプラス変換L[Ec(t)]はどうなりますか？
教えてください！

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

#1の方が定義式で計算されておられるので，僕は違う解法で。
ラプラス変換表というのがたぶん本に載っていると思うので，それを暗記している場合の解法を示します．
次の公式を記憶しておいて下さい．

L[t^(n-1)]=(n-1)!/s^n (n=1,2,3,…)
周波数軸上の推移：L[e^(-dt)f(t)]=F(s+d)　(dは任意の複素数)←数学記号で書けば簡単に∀d∈Ｃですが，知ってないかもしれないので。

L[Ec(t)]=E・L[1-exp(-1/CR)]
=E・{L[1]-L[exp(-1/CR)]}
=E・{L[t^0]-L[exp(-1/CR)・t^0]}
　(分かりやすくするためにわざわざ1=t^0としました)
=E・{(0!/s^1)-0!/(s+1/CR)}
=E・{1/s-1/(s+1/CR)}

#1の方と同じ結果となりました．
L[1]=1/sと覚えてもいいですが，一般的なL[t^(n-1)]=(n-1)!/s^nで覚えた方が脳のメモリをあまり消費しなくて効率的だと思います．
ガンマ関数を知っていれば，より一般的にx>-1のとき
L[t^x]=Γ(x+1)/s^(x+1)
で覚えた方が一般的でこっちのがいいと思います．

お礼

こんなに簡単に解けるもんなんですね＾＾；
もっと勉強します！
ありがとうございました

回答No.1

noname#17965

定義式に代入して計算すれば素直に出来ます。
Ｌ｛f(t)}(s)＝∫f(t)exp(-st)dt 積分範囲は０→∞

問題の式は
E∫{1-exp(-t/CR)}exp(-st)dt
=E∫exp(-st)dt-E∫exp{-(1/CR+s)t}dt
=E[-1/s*exp(-st)](0→∞）-E[-1/(1/CR+s)*exp{-(1/CR+s)t}](0→∞)
=E/s-E/(s+1/CR)
=E{1/s-1/(s+1/CR)}

ただし３行目で[g(t)](0→∞)はg(∞)-g(0)の意味で用いた。書きにくいんだからしょーがないじゃん。

お礼

ありがとうございます☆
ラプラス変換とか、積分とか苦手なもので＾＾；
助かりました！