広義重責分の問題

質問

広義重責分の問題なのですが、

　　∬（ｙ－ｘ）＾－a dxdy
　　積分範囲　Ｄ＝｛（ｘ、ｙ）；０≦ｘ＜ｙ≦１｝

となっており、この重責分が収束するような実数aの範囲と積分の値を求めよという問題です。この問題はどのように考えていけばよいのでしょうか？当然aの範囲を考えてやっていくとは思うのですが、この手の問題が苦手でうまくいきません。考え方のアドバイス等をいただけませんでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

info22

#1です。
>>自力解答を補足に書いて質問ください。
場合分けだけで、思うだけでなく、自分で積分をやって補足に書いて質問して頂けないのは残念です。
>(1)、(2)は収束すると思うのですが、(3)、(4)の場合についてはどのように計算すればよいのでしょうか？
思うだけで何もしないのではなく、自力で計算するようにして下さい。間違いは回答者が直してくれます。

積分は
a<0,0<a<1の場合
I=∫[0,1]dy∫[0,y] (y-x)^(-a)dx=1/{(1-a)(2-a)}
a=0の場合
I=∫[0,1]dy∫[0,y] dx=1/2
a≧1の場合
発散します。

お礼

返事のほうが遅くなりましてもうしわけありません。
ご指摘の通り、以後きちんと計算したものを掲載するようにします。
今回はいろいろなアドバイスを頂き、ありがとうございます。

回答No.1

info22

> （ｙ－ｘ）＾－a
この表現が伝わるように書いてください。
指数部がどうなっているが？はっきりしません。

> 広義責分　？
> 重責分 ？

ヒント
文字定数aを使う場合は、特定な値
a=0,a=1
の場合について
コメントしてください。
その他
a=2,a=-2などの簡単な場合も含め、ます自分でやってみて、積分がどうなるか？
確認して見てください。

自力解答を補足に書いて質問ください。

補足

遅くなりまして申し訳ありません。
> （ｙ－ｘ）＾－a
これは（ｙ－ｘ）の-a乗です。紛らわしい表現をしてしまい申し訳ありません。

補足なのですが、この場合自分は、
(1)a=0
(2)a=±１
(3)a>1，a<-1
(4)-1<a<0，0<a<1
という場合わけを考えました。(1)、(2)は収束すると思うのですが、(3)、(4)の場合についてはどのように計算すればよいのでしょうか？