広義の重積分についてです。

質問

次の広義の重積分の値を求めよ。

∬[D] x^2 e^-(x^2+y^2) dxdy [D]={ (x,y) | 0≦x,y }

という問題です。
どう回答すれば良いのか分かりませんでした。
解き方を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x=rcosθ,y=rsinθ
と変数変換すると
D={(x,y)|0≦x,y}
={(r,t)|0≦r,0≦θ≦π/2}
dxdy=rdrdθ
(x^2)e^(-(x^2+y^2)) dxdy=(r^2){(cosθ)^2}{e^(-r^2)} rdrdθ
より
I=∫[0,π/2] (1/2){1+cos(2θ)}dθ
*∫[0,∞](r^2)exp(-r^2)(1/2)(r^2)' dr
=(π/4)*(1/2)∫[0,∞] t exp(-t) dt (t=r^2で変数変換)
=(π/8){[-t exp(-t)] [0,∞]+∫[0,∞]exp(-t)dt}　（部分積分）
=(π/8){[-exp(-t)] [0,∞]}
=π/8

お礼

自分の苦手な部分も分かり、すっきりしました。

丁寧なご回答、ありがとうございました。