五つの円錐曲線に同時に接する図形はいくつ描けるか

質問

最初に、仏のリヨン高等師範学校のＥ・ギス教授が「五つの円錐曲線に同時に接する図形はいくつ描けるか」をテーマに講演、研究の最前線の一端を紹介した。

2008年11月26日の読売新聞で上記のニュース記事をみました。
しかし、意味がよくわかりません。
なぜ五という数字が出てくるのでしょうか？
同時に接する図形とは、例えばどんなものがあるというのでしょうか？

回答No.4

wloop · ベストアンサー

>平面に３つの直線があるとき、それらに同時に接する２次関数
>y=ax^2+bx+cのグラフはいくつあるか？また、具体的にはどう
>あらわされるか？

実際、方程式をたててといてみると実、複素ともに解は一つ
になると思います。

回答No.3

wloop

n次元空間を、各座標が正か負かで第1から第2^n象限に分ける。
k次元平面があるとき、何種類の象限を通過することが出来るか？

代数幾何というより組合せ論っぽい問題ですね。
Σ[i=0,k]nCi
になるのでは？

回答No.2

wloop

このリンクのsummaryによると
http://www.springerlink.com/content/u2m4618212nrl386/
1)３つの円に同時に接する円はいくつ描けるか？８個
2)３次元空間の４つの球に同時に接する球はいくつ描けるか？
有限の場合は０から１６個とありますね。無限の場合もあるようです。
3)３次元空間の４つの直線に同時に接する球はいくつ描けるか？
これはわかりませんが平面の場合、
３つの直線に同時に接する円は４個ですね。
http://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius
（このリンクの図に1)の問の図もあります。）
4)５つの円錐曲線に同時に接する円錐曲線はいくつ描けるか？
これは３２６４個だそうです。これはたとえば
http://www.math.tamu.edu/~sottile/stories/3264/index.html
グリフィス・ハリスの英語の教科書にも説明があった気がします。

お礼

遅くなりすみません。また、ご返答感謝いたします。
さまざまな情報をありがとうございます。

３つの円に同時に接する円は８個でした。

平面に３つの直線があるとき、それらに同時に接する２次関数y=ax^2+bx+cのグラフはいくつあるか？また、具体的にはどうあらわされるか？

このような簡単そうな問題でも、連立３元２次方程式がかかわってきて、難しそうです。係数が実数か複素数にも関係すると思います。

別種の問題も妄想してみました。

n次元空間を、各座標が正か負かで第1から第2^n象限に分ける。
k次元平面があるとき、何種類の象限を通過することが出来るか？

n次元空間に1次元直線があったとき、最大でn+1種類の象限を通過することが出来ると思いますが、n次元空間に2次元平面とした時点でもうわかりません。

回答No.1

wloop

正確には五つの円錐曲線に同時に接する「図形」ではなくて
五つの円錐曲線に同時に接する「円錐曲線」だと思います。

代数幾何学の有名な問題みたいです。円錐曲線を
A・x^2 + B・x・y + C・y^2 + D・x + E・y + F = 0
とすると、その円錐曲線のパラメータ(A～F)空間は
５次元の射影空間になります。数学的に正確な説明か
わからないですが、パラメータ空間の自由度が５つある
のでパラメータに条件を５つ（「５つの円錐曲線に接する」）
設定して、その条件を満たすパラメータの数を数えるという
問題だと思います。条件の個数が多いと条件を満たすパラメータ
が存在せず、すくないとそのパラメータが無限にあり数え上げ
できません。

二次曲線は５点与えれば決まるというのも同様の理由だと思います。

お礼

ありがとうございます。
意味はよくわかりました。

３つの円に同時に接する円はいくつ描けるか？
この答えだったら、４つと思います。
図形的な直感ですが。

３次元空間の４つの球に同時に接する球はいくつ描けるか？
この答えだったら、５つと思います。

３次元空間の４つの直線に同時に接する球はいくつ描けるか？
この答えは、少し難しいと思います。

５つの円錐曲線に同時に接する円錐曲線はいくつ描けるか？
この答えは、よくわかっていません。