誰か…縮小写像についての質問。解析です

質問

g(x)=2x(1-x)　　0<x<1
のとき
x=g(x)
とすると不動点定理成り立ちますよね？
だって、x=g(x)は絶対に1/2に収束するし。

でも、|g(x_1)-g(x_2)|<=k|x_1-x_2|
とするとkが1より大きくなってしまって証明ができないんです。
誰か助けてください(T_T)

回答No.4

gef00675 · ベストアンサー

#３補足。

> 自分が大学で教えてもらったのとはだいぶ違うんで混乱気味です。

大学で教えてもらった方法があるのなら、それを使えばよろしい。
質問の関数の場合、たまたま微分可能だったので、平均値の定理を使ったまでである。

縮小写像の原理とは、普通、次のことを指す。
集合Aにノルム（または距離）が定義されていて、Aが閉集合と仮定し、
gが、ある集合AからAへの写像であるとき、（g:A→A)
（１）g(x)の値域が、g(x)の定義域に含まれていること。( g(A)⊂A )
（２）ある定数kが存在して(0≦k＜1)、任意のx1,x2∈Aについて,
|g(x1)-g(x2)|≦k|x1-x2|が成り立つこと。
(1),(2)を満たすようなg(x)を縮小写像といい、このとき、
　　　x=g(x)を満たすx（不動点）がAの中に存在する。

縮小写像の原理は、不動点定理の特別な場合といってよい。ブラウエルの不動点定理など、一般の不動点定理では、(2)の条件は用いず、g(x)が連続関数であることと、(1)の条件および、Aに適当な性質を付加して、不動点の存在を述べるものである。縮小写像は、(2)の条件から明らかに連続になる。(2)の条件は連続よりもっと強く、リプシッツ連続の条件になっている。

質問の式、「g(x)=2x(1-x)　(0<x<1)」は、（１）の条件を満たす連続関数であるから、閉区間(0≦x≦1)に修正すると、不動点の存在が言える。（不動点の存在をいうには極限の存在を前提にするため、関数を閉区間で定義しておかないと具合が悪い。）質問のg(x)は、0<x<1では（２）の条件を満たしていない。例えば、x=1の近傍では、成り立っていない。（２）をいうには、もう少し、区間を狭める必要がある。

区間を決定する際、g(x)が区間上で微分可能なら、話は簡単で、平均値の定理から、
g(x1)-g(x2)＝g'(x3)*(x1-x2)
となるようなx3が、x1<x3<x2の中にとれる。ここでもし、区間の中で、|g'(x)|≦k＜1が成り立つように、kを決めることができれば、
|g(x1)-g(x2)|＝|g'(x3)|*|x1-x2|≦k|x1-x2|
とできる。g'(x)は簡単に計算できることが多いので、そこから、|g'(x)|<1となる区間を定め、（2)の条件が成立する区間を決める。次に、その区間上で、（１）の条件が成立しているかを調べ、成立していなければ、さらに区間を狭めて、（１）が成立するようにきめればよい。
そのように考えると、g(x)の定義域を1/4≦x≦3/4に制限すれば縮小写像になる。ただし、区間はもっと狭くしてもよいので、一つに決まるようなものではない。

お礼

度々回答して頂いてありがとうございます。
確かに、1/4≦x≦3/4ですね。
平均値の定理の解説もよくわかりました。ありがとうございます。

実は、この証明は、x_{n+1}=g(x_{n})=ax_{n}(1-x_{n}) (0<x<1) (0<a<4)のロジスティック差分方程式のプログラム（自分は情報工学科なので…）の課題の考察として載せようと思っていたものでした。
a=2の時は、プログラムの動作結果から不動点を持つような結果だったので証明してみようと思ったんです。
考えてみれば、xは1≦a≦2の時に常に(x_{n}>x_{n+1})であるから不動点を持ちます。ちなみにa≦0の時は0に収束します。（こういうのって不動点て言うんですよね？？多分…^^;）

ただ不思議なのはaが3ぐらいになると、x_{n}の数列が周期的になり、収束しない事です。さらに、aが3.57を超えるとカオス的な性質を示すという事がどこかのサイトに書いてありました。

僕のレベルの数学的知識しかない人間にとっては興味深い内容でした。

回答No.3

gef00675

うーむ、酔いがさめて、改めて自分の回答をみてみると。。。何じゃこりゃ？
＃１は撤回する。

g'(x)=2-4xで、|g'(x)|<1なるxの範囲を求めてみると,1/4<x<3/4で、
x=1/2はこの範囲に含まれるから。。。
|g(x1)-g(x2)|<|g'(x)|*|x1-x2|　（1/4<x1<x<x2<3/4)
なんだ、ちゃんとk<1が成り立っているではないか。
数列x(n)=g(x(n-1))が収束する範囲はもう少し広げることができて、
0<x<1のどの点から出発しても、x=1/2に収束する。

お礼

ありがとうございます。
微分を使うんですか？
自分が大学で教えてもらったのとはだいぶ違うんで混乱気味です。
そもそも、あまり縮小写像原理を理解してないのが原因ですので
もう少し勉強しようと思います。

回答No.2

arrysthmia

不動点定理は、閉区間 [0,1] でも成り立ちますが、g(x) には適用できません。

不動点定理の内容は、「閉集合上の縮小写像は、唯一の不動点を持つ」です。
その g(x) は、区間 [0, 1] 上の縮小写像ではないし、
定義域を開区間 (0, 1) としているのも条件が合いません。

g( ) を、g(x) = 2x(1-x), 0≦x≦1 に変更して考えると、
「g(x) は、区間 [0,1] に２個の不動点 x = 0, 1/2 を持つが、
縮小写像ではないので、不動点定理の反例ではない」とは言えます。

また、不動点定理は、「不動点を持つ写像は縮小写像である」という内容を
含みません。

お礼

すいません。
解析の授業で縮小写像って言葉は出てきたんですが、はっきり言ってよくわかんなかったもので…
なんか、オレ誤解してるみたいですね。
もう少し勉強します

回答No.1

gef00675

＞　|g(x_1)-g(x_2)|<=k|x_1-x_2|

違う。f(x)=x-g(x)が縮小写像
|f(x_1)-f(x_2)|≦k|x_1-x_2|　(k<1, x_1≠x_2)
になるということを示すのである。
|f(x_1)-f(x_2)|=-x_1+x_2+2x1_^2-2x_2
=|-1+2x1+2x2|*|x_1-x_2|
なので、0≦x≦1/2の範囲で、f(x)は縮小写像になっている。