絶対収束、一様収束についての問題（複素解析）

質問

Σb_lは正の項の収束和でその和は格子Lの0でないすべての元にわたるものとする。
Cのある部分集合の点ｚに対し、|f_l(z)/b_l|が|l|→∞のときに
有限な極限に一様収束するという性質をΣf_l(z)が持つならば、
Σf_l(z)はその集合の点xで絶対かつ一様に収束することを示せ。

簡単なんで証明は省く、的なことが書かれてるんですが、考えても分かりません。
教えてください。

回答No.1

tinantum · ベストアンサー

|f_l(z)/b_l|が|l|→∞ なので，
ある定数M＞0が存在して，十分大きな|l_0|に関しては，
|f_l(z)| < M b_l　…(1)
が成立します．
よって
Σ|f_l(z)| … (2)
= Σ_{l<|l_0|}|f_l(z)| + Σ_{|l_0|≦l}|f_l(z)|
≦Σ_{|l|<|l_0|}|f_l(z)| + M Σ_{|l_0|≦|l|}b_l
ところがΣb_lは収束する正項級数なので，Σ|f_l(z)|も収束します．
（厳密には，スタートの(2)式で，任意のK>0に対して |l|<kの和にしておいて，同様に不等式で評価して，最後にKは任意だったので，収束するといえばよいです）

一様収束性もどうように示すことができます．

お礼

ありがとうございました。
自分なりに解いてみた解答とほとんど一緒だったのでとてもうれしかったです。
自信が持てました。