行列の基本変形で

質問

７×７行列
奇　偶　偶　偶　偶　偶　偶
偶　奇　偶　偶　偶　偶　偶
偶　偶　奇　偶　偶　偶　偶
偶　偶　偶　奇　偶　偶　偶
偶　偶　偶　偶　奇　偶　偶
偶　偶　偶　偶　偶　奇　偶
偶　偶　偶　偶　偶　偶　奇　　（成分は全て整数）

の対角だけが奇数の行列を下の形にしたい。

奇　偶　偶　＊　＊　＊　＊
偶　奇　偶　＊　＊　＊　＊
偶　偶　奇　＊　＊　＊　＊
０　０　０　奇　偶　偶　＊
０　０　０　偶　奇　偶　＊
０　０　０　偶　偶　奇　＊
０　０　０　０　０　０　奇　　（＊：任意の整数）

どんな数の時でも（対角は奇数で、その他は偶数）
基本変形で求める形にするにはどうしたらよいのでしょうか。
求めるためのプロセス（流れ）を教えてください。
私には思いつかないので、知恵をお貸しください。お願いします。

回答No.4

arrysthmia

済みません！ No.3 にはウソがありました。
あの説明は、最下行にしか使えません。
「同様に掃き出して」は、できないのでした。

別の変形をしてみます。
実は、単なる掃き出し法です。有理数の範囲でやります。

最初に、各行を、その行の対角成分で割ります。
（与えられた対角成分は、奇数 なので、0 でない）
そうすると、行列は、
対角成分が 1、非対角成分が 遇/奇 になります。
（正式には、既約分子が因数２を持つような有理数とでも）

この行列に、以下の操作をします。
n = 1, 2, …, 7 の各々について、順に、以下の操作をする｛
　　k = n+1, n+2, …, 7 の各々について、順に、以下の操作をする｛
　　　　(1) 第 n 行に第 k 行 n 列成分を掛けたものを、第 k 行から引く
　　　　(2) 新しい第 k 行を、その対角成分で割る
　　｝
｝

(1) の操作で、第 n 列の下三角部分は 0 となり、
行列の対角成分は 1 - (遇/奇)(遇/奇) = 奇/奇、
非対角成分は (遇/奇) - (遇/奇)(遇/奇) = 遇/奇 となります。

(2) の操作は、対角成分が 奇/奇 で 0 ではないので、必ず行うことができ、
対角成分は 1、非対角成分は (遇/奇) ÷ (奇/奇) = 遇/奇 となります。

よって、この操作を完了すると、
対角成分が 1、非対角成分が 遇/奇 の上三角行列ができます。

最後に、各行に適当な 奇数 を掛けて、分母をなくすると、
対角成分が 奇数、非対角成分が 偶数 の上三角行列が得られます。

下三角部分の「遇」と指定された位置を 0 でなくする方法は、
No.3 と同じです。

お礼

回答ありがとうございました。
こちらを参考にさせてもらいます。

回答No.3

arrysthmia

ある行(または列)の成分に２以上の公約数があったとすれば、
その行(または列)を公約数で割っても、各成分は整数のままです。
この操作を、もうできなくなるまで繰り返せば、どの行も(列も)
互いに素な整数のみからなる行列が得られます。

最初の行列の行(または列)は、どれも奇数を含みますから、
公約数２を持つことはありえません。よって、この操作を行っても、
成分の偶奇パターンは変わりません。

操作後の各行の成分は互いに素ですから、整数成分のベクトルで
行との内積が１になるものが存在します。(ベズーの等式)
その列ベクトルを、行列に右からかけてできるベクトルを v と置き、
第１～６列から、その列の第７行成分を掛けた v を引けば、
第７行の第１～６列は０になります。

各列に加えるベクトルは v を偶数倍したものですから、
この操作で、行列の各成分の偶奇は変わりません。

同様に掃き出して、上三角行列へ変形することができます。
偶奇の変わらない操作をしていますから、
対角成分は奇数、非対角成分は偶数です。

最終形で「偶」と書かれているものが、０以外でないといけないなら、
上三角にした後で、
第１，２列には、第３列の何かテキトーな偶数倍を、
第４，５列には、第６列の何かテキトーな偶数倍を、加えればよいです。

お礼

回答ありがとうございます。
数学があまり得意ではなく、すぐには理解できませんが、
参考にして考えていきます。

回答No.2

Tacosan

元の行列の行列式は奇数ではないでしょうか＞#1. 行列式の定義式に現れる 7!個の項のうち, 奇数になるのは (主対角線上の成分だけを選ぶ) 1個だけで, あとはすべて偶数になるはずです.
で, なんだけど, たぶん不可能ですね. 7次単位行列から (6, 6), (7, 7) 成分を 3 に, (6, 7), (7, 6) 成分を 2 に変えた行列を考えるとたぶんできないと思う.

回答No.1

graphaffine

＞の対角だけが奇数の行列を下の形にしたい。
本当にできるの？出典は何ですか？
ざっと見た感じでは、元の行列の行列式は偶数、
変形後は奇数になるのですが。