行列の計算の進め方
行列Ｐ(a,b,c,d)（順に左上,右上,左下,右下の成分です）が
P^2-dP=P^(-1)…(1)
および
ad-bc=1…(2)
を満たしている。このときa=-1を示せ。ただしa,b,c,dはいずれも実数である。
という問題なんですが、まず逆行列が嫌なので(1)に両辺Pをかけて逆行列を消し、またハミルトンケーリーで今作った式の次数下げをどんどんやっていきます。そうすると、
{a(a+d)-1}P=(a+1)E
という式が出てくると思うのですが、ここで場合分けに入ると、
a(a+d)-1=0
の場合はa=-1と定まるのですが、
a(a+d)-1≠0
の場合に、PはEの実数倍にならないということが言えませんので（(2)よりdetP=1）P=kEとしてハミルトンケーリーの式に代入することになると思います。ところ
が代入した後に{k^2-(a+d)k+1}E=0となり、kの2次方程式が表れますが、これ以上進めません。
どこか見落としているだけかもしれませんが...
解答では素直に逆行列を求めてから成分を比較して、途中背理法を使うことによってa=-1と示していました。もちろん僕のやり方をするなら後者のほうも調べないといけませんから、このままでは点数になりません。
お聞きしたいことは２点あります。
一つ目は僕が進めなかったところから進めるのか。
二つ目はどういうときに成分計算に入ろうと考えるのか。
特に二つ目は、行列は成分計算が面倒になるからなるべく行列式でもちこみたいと教わっていたので、どうも成分計算に入る決意が出来ません。特に今回のようにもう少しで出来るのでないかと思うようなところまでくるとなおさら「いまさら成分なんか計算してたら時間が無くなってしまう！」と考えてしまいます。それは問題量や経験の差かもしれませんが、何かアドバイスあればよろしくお願いします！
お礼
遅れてすみません、回答ありがとうございます。 ミスプリではなく、僕の問題の解釈がまちがっていて、先の行列は任意の行列として表記されていました。すいません。 回答者様のおかげで、自信をもってスカラー行列は何かを説明できます。ありがとうございます。