5×5行列を

質問

５×５行列
1 -8 -6 -4 0
8 7 8 6 0
-2 -2 7 -4 -8
4 6 6 5 0
-4 -2 6 -2 -5

この行列を最終的に
　奇　＊　＊　＊　＊
　＊　奇　＊　＊　＊
　＊　＊　奇　＊　＊
　０　０　０　奇　＊
　０　０　０　＊　奇
（＊：整数）
（下三角を全て０にするのは不可）

のような形にする場合に、
どのように考えて（理論）計算すれば良いのか、
誰か知恵をお貸しください。
（最終的な形を記載してくださるとありがたいです）

ネットに不慣れなため不手際なところは申し訳ありません。

回答No.2

arrysthmia

1　　　－8　　　－6　　　－4　　　　0
　8　　　　7　　　　8　　　　6　　　　0
－2　　　－2　　　　7　　　－4　　　－8
　4　　　　6　　　　6　　　　5　　　　0
－4　　　－2　　　　6　　　－2　　　－5

を、基本変形で、その形へ持っていけばいいんですね？

左下の０の塊を作るのに、掃き出しを行いたいので、
まづ、右下の２行２列を可逆な小行列にしたい。
非整数の成分が出てこないように、逆行列が整数成分
であるようなものが良いでしょう。そのためには、
行列式が ±１ であること。
幸い、第２,４行２,４列の小行列が

　7　　　　6
　6　　　　5

となっているので、これを右下に移動しましょう。
第２行⇔第５行、第２列⇔第５列、を交換して、

　1　　　　0　　　－6　　　－4　　　－8
－4　　　－5　　　　6　　　－2　　　－2
－2　　　－8　　　　7　　　－4　　　－2
　4　　　　0　　　　6　　　　5　　　　6
　8　　　　0　　　　8　　　　6　　　　7

です。幸い、対角成分が全て奇数になっています。

後は、第４,５列を使って、左下部分を消去する。

第１列４,５行成分を０にするためには、
　4 + 5 x + 6 y = 0
　8 + 6 x + 7 y = 0　を解いて、(x, y) = (-20, 16) より、
第４列の -20 倍と第５列の 16 倍を第１列に加えればよい。

第３列についても、同様です。

お礼

ありがとうございます。
これを参考にしてやってみます。

回答No.1

Gab_km

どのように計算しても大丈夫なのですか？

条件が足りなさすぎるので、
. 0 0 0 0 0
. 0 0 0 0 0
. 0 0 0 0 0
. 4 6 6 0 0
.-4-2 6 0 0
こんな5×5の正方行列で引き算する事が思いついてしまいます。

他に条件はありませんか？

補足

早速の回答ありがとうございます。そして、字足らずですみません。

新たな行列は使えません。
５×５行列のある行（列）を何倍かしてある行（列）に加える
というような形で数値を変化させていきます。