運動方程式から導く解法を知りたいです。

質問

ばね定数kの鉛直なばねに質量ｍのおもりをつけ、自然長の位置で初速Vを与えた。
ばねの最大の伸びLはいくらになるか。

＜自分の答え＞
mx"=mg-kx
mx"x'=(mg-kx)x'
t/dt(1/2mx')=t/dt{(mg-kx)x}
t/dt[(1/2mx')-(mg-kx)x]＝0
E=1/2mx'-mgx+kx^2
これに以下を代入してLをもとめる。
(x'=v x=0)
(x'=0 x=L)

これでは答えが合いません。
どこがおかしいのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>mx"x'=(mg-kx)x'
この式から
>t/dt(1/2mx')=t/dt{(mg-kx)x}
の変形が間違っている。
多分t/dtはd/dtのうち間違いだろうが、実際に微分してみると違うことがわかるだろう。

変形をしてみましょう。
d/dt{(1/2)m(x')^2}=(mg-kx)x'
両辺をtで積分して
(1/2)m(x')^2=∫(mg-kx)x'dt=∫(mg-kx)dx=mgx-(1/2)kx^2+E
力学的エネルギー保存の式が得られました。

お礼

ありがとうございました。
求めていた回答内容でした。
ベストアンサーに選ばせていただきます。

回答No.3

SKJAXN

両辺をmで除して整理すると、x"=-(k/m)(x-(m/k)g)
ここでx-(m/k)g=X、k/m=Aとして整理すると、X"+AX=0
⇔X'X"+AXX'=0
⇔(d/dt)((1/2)((X')^2+AX^2))
⇔(1/2)((X')^2+AX^2)=C [Cは積分定数]

X'=v、X=0[x=(m/k)g]を代入すると、C=(1/2)v^2
よって、X'=0、X=L[x=(m/k)g+L]のとき、(1/2)AL^2=(1/2)v^2
⇔L=v/√A=v√(m/k)

ただ、自然長の捉え方が曖昧で、おもりを吊るした時の自然長なのか、おもりを吊るさない時の自然長なのかで回答が異なります。後者の場合、(m/k)g+v√(m/k)となります。いかがですか？

お礼

なるほど。
後者の場合が回答２の方と同じ内容になるのですね。

参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

sanori

こんにちは。

下方向を正とします。

釣り合いの位置を　ｘo　とし、そこからの伸びを　ｘ　とします。

方程式を立てると

ｍ・ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｋ（ｘo＋ｘ）　＋　ｍｇ
ｍ・ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｋｘ　＋　（ｍｇ　－　ｋｘo）

ところが、つり合いの状態を考えると、ｍｇ－ｋｘo＝０　なので、
ｍ・ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｋｘ

視察により　ｘは、ｘ＝ａｅ^(ωt+φ)　の形となるので、
ｍω^2ａｅ^(ωt+φ)　＝　－ｋａｅ^(ωt+φ)
ｍ・ω^2　＝　－ｋ
ω　＝　±ｉ・√（ｋ／ｍ）

よって解は、
ｘ　＝　ａｅ^(i√(k/m)・t+φ)
の形の一次結合となるが、ｔ＝０、ｘ＝０　で初速を与える単振動ならば（オイラーの公式により）
振幅をＡとして
ｘ　＝　Ａsin(√(k/m)・t)
の形に表せる。

１回微分すると
ｄｘ／ｄｔ　＝　Ａ√（ｋ／ｍ）cos(√(k/m)・t)
であるが、ｔ＝０　で　ｄｘ／ｄｔ＝Ｖ　であるから、
Ｖ　＝　Ａ√（ｋ／ｍ）cos０
つまり、
Ａ　＝　Ｖ／√（ｋ／ｍ）

よって、
ｘ　＝　Ｖ／√（ｋ／ｍ）・sin(√(k/m)・t)

伸びは、
ｘo　＋　ｘ　＝　ｘo　＋　Ｖ／√（ｋ／ｍ）・sin(√(k/m)・t)
ところが、ｍｇ－ｋｘo＝０　より　ｘo＝ｍｇ／ｋ　なので、
伸び　＝　ｍｇ／ｋ　＋　Ｖ／√（ｋ／ｍ）・sin(√(k/m)・t)

最大の伸びは、sin の値が　１　のときなので、
Ｌ　＝　ｍｇ／ｋ　＋　Ｖ／√（ｋ／ｍ）

合ってますか？
（点検してください。）

お礼

思っていたより難しい内容で・・・
ωが出てくるのは予想外でした。。。
でも丁寧に回答していただきありがとうございました。