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順列 カードの並べ方？
A、B、Cいずれか1文字が書かれたカード4枚がある。 Aは1枚 Bは2枚 Cは1枚 である。 これらのカードを全て並べる並べ方は何通りか？ という問題なのですが 自分は4P4と考え、4P4=4!=4*3*2*1=24通りかと思ったのですが 回答には (4!)/(1!*2!*1!)=12通り となっていました。 これはどういう違いなのでしょうか？ 初歩的な質問で申し訳ないです。 よろしくお願いします。
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ANo.4の補足・訂正です。 まずは、どうでもいい訂正です。 別解の前段にある式4!/(1!2!1!)を、質問にある式に合わせるのならば、(4!)/(1!2!1!)ですね。（4!のカッコが欠落していました。） また、別解の後段にある「並び方」は、表現を統一するのならば「並べ方」ですね。 さらに、第三の別解として次の考え方があります。 最初にBが入り得るのは1～4の4箇所のうちの2箇所（入り方は4C2=6通り）、次にAが入り得るのは残りの2箇所（入り方は2C1=2通り）、最後にCが入るのは必然的に残りの1箇所（入り方は1C1=1通り）と考えても、並べ方は6*2*1=12通りになります。 これも、組み合わせの式で表すと、 4C2*2C1*1C1 =(4!)/(2!2!)*(2!)/(1!1!)*(1!)/(1!0!) =(4*3)/(2!)*2/(1!)*1/(1!) =(4!)/(1!2!1!) となって、やはり質問にある式と一致します。 なお、AとCは1枚ずつなので、3通りの別解において、AとCを逆に考えても全く同じことです。
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既に正解が出されていますので、補足だけします。 このような順列を、「同じものを含む順列」といいます。 なお、この応用として、Aは1枚、Bは2枚、Cは3枚であれば、(6!)/(1!2!3!)=60通りになります。 （別解） カード4枚の入る位置を便宜的に1～4の4箇所とした場合に、最初にAが入り得るのは1～4の4箇所（入り方は4C1=4通り）、次にCが入り得るのは残りの3箇所（入り方は3C1=3通り）、最後にBが入るのは必然的に残りの2箇所（入り方は2C2=1通り）になると考えると、並べ方は4*3*1=12通りになります。 AとCが1枚ずつなので、この考え方が最も簡単だと思います。 これを、組み合わせの式で表すと、 4C1*3C1*2C2 =(4!)/(1!3!)*(3!)/(1!2!)*(2!)/(2!0!) =4/(1!)*3/(1!)*(2!)/(2!) =4!/(1!2!1!) となって、質問にある式と一致します。 これは、並べるというよりも、1～4の4箇所から、A、B、Cのそれぞれが入る位置を選ぶという考え方です。 また、最初にAが入り得るのは1～4の4箇所（入り方は4C1=4通り）、次にBが入り得るのは残りの3箇所のうちの2箇所（入り方は3C2=3通り）、最後にCが入るのは必然的に残りの1箇所（入り方は1C1=1通り）と考えても、並び方は4*3*1=12通りになります。 これも、組み合わせの式で表すと、 4C1*3C2*1C1 =(4!)/(1!3!)*(3!)/(2!1!)*(1!)/(1!0!) =4/(1!)*(3*2)/(2!)*1/(1!) =(4!)/(1!2!1!) となって、やはり質問にある式と一致します。
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- asuncion
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Bのカードに番号を付けたとします。 そして、例えば A, C, B1, B2 のように並べる場合と A, C, B2, B1 のように並べる場合とを比べます。一見別物であるように見えます。 ところが、実際には番号は付いていないので、どちらも、 A, C, B, B ですよね。だから。
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- asuncion
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2枚のBのカードを区別できないから、2!で割っています。
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