順列 カードの並べ方？

質問

A、B、Cいずれか1文字が書かれたカード4枚がある。
Aは1枚
Bは2枚
Cは1枚
である。
これらのカードを全て並べる並べ方は何通りか？

という問題なのですが
自分は4P4と考え、4P4=4!=4*3*2*1=24通りかと思ったのですが
回答には
(4!)/(1!*2!*1!)=12通り
となっていました。

これはどういう違いなのでしょうか？

初歩的な質問で申し訳ないです。

よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

質問者さんのお考えのとおりたかだか24とおりしかないのであれば、
4P4に頼らずに樹形図か何かを使って全部書いてみるという手が有効だと思います。試しにやってみましょう。
A, B, B, C
A, B, C, B
A, C, B, B
B, A, B, C
B, A, C, B
B, B, A, C
B, B, C, A
B, C, A, B
B, C, B, A
C, A, B, B
C, B, A, B
C, B, B, A
これでもれなくダブりなく挙げているはずです。

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。

回答No.5

noname#227255

ANo.4の補足・訂正です。

まずは、どうでもいい訂正です。
別解の前段にある式4!/(1!2!1!)を、質問にある式に合わせるのならば、(4!)/(1!2!1!)ですね。（4!のカッコが欠落していました。）
また、別解の後段にある「並び方」は、表現を統一するのならば「並べ方」ですね。

さらに、第三の別解として次の考え方があります。
最初にBが入り得るのは1～4の4箇所のうちの2箇所（入り方は4C2=6通り）、次にAが入り得るのは残りの2箇所（入り方は2C1=2通り）、最後にCが入るのは必然的に残りの1箇所（入り方は1C1=1通り）と考えても、並べ方は6*2*1=12通りになります。
これも、組み合わせの式で表すと、
4C2*2C1*1C1
=(4!)/(2!2!)*(2!)/(1!1!)*(1!)/(1!0!)
=(4*3)/(2!)*2/(1!)*1/(1!)
=(4!)/(1!2!1!)
となって、やはり質問にある式と一致します。

なお、AとCは1枚ずつなので、3通りの別解において、AとCを逆に考えても全く同じことです。

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。

回答No.4

noname#227255

既に正解が出されていますので、補足だけします。
このような順列を、「同じものを含む順列」といいます。
なお、この応用として、Aは1枚、Bは2枚、Cは3枚であれば、(6!)/(1!2!3!)=60通りになります。

（別解）
カード4枚の入る位置を便宜的に1～4の4箇所とした場合に、最初にAが入り得るのは1～4の4箇所（入り方は4C1=4通り）、次にCが入り得るのは残りの3箇所（入り方は3C1=3通り）、最後にBが入るのは必然的に残りの2箇所（入り方は2C2=1通り）になると考えると、並べ方は4*3*1=12通りになります。
AとCが1枚ずつなので、この考え方が最も簡単だと思います。
これを、組み合わせの式で表すと、
4C1*3C1*2C2
=(4!)/(1!3!)*(3!)/(1!2!)*(2!)/(2!0!)
=4/(1!)*3/(1!)*(2!)/(2!)
=4!/(1!2!1!)
となって、質問にある式と一致します。
これは、並べるというよりも、1～4の4箇所から、A、B、Cのそれぞれが入る位置を選ぶという考え方です。

また、最初にAが入り得るのは1～4の4箇所（入り方は4C1=4通り）、次にBが入り得るのは残りの3箇所のうちの2箇所（入り方は3C2=3通り）、最後にCが入るのは必然的に残りの1箇所（入り方は1C1=1通り）と考えても、並び方は4*3*1=12通りになります。
これも、組み合わせの式で表すと、
4C1*3C2*1C1
=(4!)/(1!3!)*(3!)/(2!1!)*(1!)/(1!0!)
=4/(1!)*(3*2)/(2!)*1/(1!)
=(4!)/(1!2!1!)
となって、やはり質問にある式と一致します。

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。

回答No.2

asuncion

Bのカードに番号を付けたとします。
そして、例えば
A, C, B1, B2
のように並べる場合と
A, C, B2, B1
のように並べる場合とを比べます。一見別物であるように見えます。
ところが、実際には番号は付いていないので、どちらも、
A, C, B, B
ですよね。だから。

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。

回答No.1

asuncion

2枚のBのカードを区別できないから、2!で割っています。

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。