順列の数え方

質問

5個の文字a,a,b,b,cから4個の文字を選んで並べる時
5P4/(2!2!)=30とすると答えは合うんですが
a,a,b,cが選ばれら時には2!を2つ割る必要はないので
答えが合ったのは偶々なのでしょうか

0,1,2,2の4つの数で3桁の数を作るのも同様に
4P3/(2!)-3P2/(2!)=9 　（引いたのは2桁になる場合の数）
と出てきて合ってるんですがこれも偶々ですか
ダメな時もあった気がするので気になりました

回答No.4

keyuki · ベストアンサー

たまたまではありません。
「考え方次第では」正しい求め方です。

今回なぜ求められたのかといいますと…
n個中、n-1個の文字を使う場合には、余った1つは自動的に決まるので
n個を並べるのと、n-1個を並べるのは同じことになります。

問題は、n個中、「使わない文字」が２つ以上ある場合です。
場合分けをして考えなければなりませんね。

機械的ににnPr/x!y!z!　と立式するだけでは正解できません。

今後は、今回の「まぐれ」は忘れて、確実に解くようにしましょう。

お礼

ありがとうございました！
疑問が解決しました。
今後は気をつけます
他の方もありがとうございました

回答No.3

suko22

＞5P4/(2!2!)=30とすると答えは合うんですが
＞a,a,b,cが選ばれら時には2!を2つ割る必要はないので
＞答えが合ったのは偶々なのでしょうか

たまたまだと思います。質問者さんの疑問はその通りです。

正確には次のように考えるのがよいと思います。
a,a',b,b'cと5つ区別があると考えます。
（a2個,b2個）4！/（2！2！）＝6
（a1個,b2個,c1個）4！/2！＝12
（a2個,b1個,c1個）4！/2！＝12

6+12+12＝30

これが正しい数え方だと思います。

たとえば5個の文字の中から3個選んで並べるときの場合の数は、
5Ｐ3/（2！2！）ではありません。

正しくは、
（a2個,b1個）3！/2！＝3
（a2個,c1個）3！/2！＝3
（a1個,b2個）3！/2！＝3
（c1個,b2個）3！/2！＝3
（a1個,b1個,c1個）3！＝6

6+3+3+3+3＝18通り

下も同じです。

回答No.2

aries_1

最初のはそれで合っています。
その式で全ての場合を表すことができているので、a,a,b,cが選ばれた場合は…等と考える必要はありません。
2個重複している文字が2つあるので、単純に2回2!で割るだけでいいです。

余談ですが、文字がa,a,a,b,b,cの時は3!と2!で割らなければなりません。

次のもその式で合っています。
注意点としては、2桁になる場合を引かなければならないのは、候補の数字に0が入っているときだけです。

また余談ですが、これには別解もあります。
解:100の位になり得る数字は1,2,2の3通り…(1)
1の位、10の位になり得る数字は、(1)で選ばなかった数字2つと0から2つ選んで並べればよい…(2)
(1)(2)より、求める場合の数は、3×3P2/2!=9通り…(答)

補足

ありがとうございます！
5個の文字a,a,b,b,c から3個の文字を選んで並べるときは
5P3/(2!2!)=15とはならず、18となるのですが
4個の数字の場合とはどこにちがいがあるのでしょうか？
やっぱり場合分けをせず解きたいという怠慢な姿勢はもうだめですか・・・

回答No.1

asuncion

例えば、a1, a2, b1, c と a2, a1, b1, c とを同一視する必要があるので、
文字aについて2!で割る必要があります。

同様に、例えばb1, b2, a1, c と b2, b1, a1, c とを同一視する必要があるので、
文字bについても2!で割る必要があります。