線形代数 行列

質問

||u||=1, u∈R^n f:R^n→R^n

f(x)=x-2(u,x)u
f(x)=Ax

という線形代数の問題なのですが、
これのAの求めかたを教えてもらえませんか？
Aは直交行列になるそうなのですが。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

A x と書いているということは、
x は列ベクトルと考えているのですね。

列ベクトル p, q の内積が、行列積を使って、
(p,q) = p' q と表せることを確認しましょう。
ただし、p' は p の転置を表すとします。

A x = x - 2 u (u,x)
= E x - 2 u (u' x)
= (E - 2 u u') x
が、任意の x で成立するのだから、
A = E - 2 u u' です。
ただし、E は単位行列を表すとします。