添削お願いします（高校レベルの微分）

質問

大学３回生ですが、高校数学につまずきました…。
薬物動態学でのことですが、下に示した式が解けません。
いつも同じ誤答にたどり着いてしまいます。

見やすいように画像でと思いましたが、容量的に見れたものじゃないので、以下に示します。

非常に見にくくてすみません…。

与式は
Ｃ＝{ｅ＾(-λt)}-{e^(-kt)}
(k>λ,t>0)で変数はＣとｔ

ｔで微分して
Ｃ’=[{e^(-λｔ)}/(-λ)]-[{e^(-kt)}/(-k)]
=-[{e^(-λｔ)}/λ]+[{e^(-kt)}/k]

Ｃ’＝０のとき
{e^(-kt)}/k={e^(-λｔ)}/λ

両辺に k × e^(λt) を掛けて
e^(λt-kt)=(k/λ){e^(λt-λt)}
e^{(λ-k)t}=k/λ

両辺の自然対数をとって
(λ-k)t=ln(k/λ)

tの式に
t=(lnk-lnλ)/(λ-k)

これは誤答で、正しくは上記に－を掛けただけの
t=(lnk-lnλ)/(k-λ)
となります。

この間違いが分かれば後は問題ありません。

最初の式と正答は何回も教科書を確認したので間違っていないはずです。
読みにくいですが、よろしくお願いします。

回答No.3

noname#101199 · ベストアンサー

こんにちは。
tが独立変数で、Cをその従属変数とみてるんですよね？

とりあえず、
>ｔで微分して
Ｃ’=[{e^(-λｔ)}/(-λ)]-[{e^(-kt)}/(-k)]
=-[{e^(-λｔ)}/λ]+[{e^(-kt)}/k]

のところがおかしいです。（おそらく質問者さんは、微分ではなくて不定積分してます。）

打つのが面倒なので、ラムダをrとして、e^xをexp(x)と表記します。

C=exp(-rt)-exp(-kt)
C'=-rexp(-rt)+kexp(-kt)
C'=0から（条件から？)
0=-rexp(-rt)+kexp(-kt)

あとは、質問者さんと同じように、exp(rt)/rを両辺にかけてやって
式変形してやれば解けますよｖｖ

お礼

こんばんは。
回答ありがとうございます。
Ｃとｔは高校数学での関数でいうＹとｘです。(答えになってませんね…。)

下で回答していただいた人達にも指摘してもらい、無事に問題が解けました。
今日の講義をこれを考えるのに１コマ潰したのが情けない…。

それと、ｅの式をexp()で示せるのも失念していました。
この方がずっと見やすいのにすみません。

回答No.2

piro19820122

e^(kx) を x に関して微分すると k e^(kx) です。

したがって最初の微分が間違っているのでは？
Ｃ’=[{e^(-λｔ)}/(-λ)]-[{e^(-kt)}/(-k)]
ではなく、
Ｃ’=[-λ{e^(-λｔ)}]-[(-k){e^(-kt)}]
ではないかと。

お礼

回答ありがとうございます。
微分なのに積分してますね…。
最近はやたら積分ばかりを解いていたので、混同してました。

大学受験の時なら、こんな失敗しないようにしていましたのに…。

回答No.1

owata-www

Ｃ’=[{e^(-λｔ)}/(-λ)]-[{e^(-kt)}/(-k)]
=-[{e^(-λｔ)}/λ]+[{e^(-kt)}/k]
ここが違う
d/dt{e^(-λt)}=-λe^(-λt)
d/dt{e^(-kt)}=-ke^(-kt)
です。

お礼

ありがとうございます。
今やってる範囲は積分ばかりなので、微分の基本中の基本を失念していたようです…。