lnを使った微分方程式がわかりません。

質問

大腸がん発生率Ｒ、年齢ｔとの関係をＲ＝ｋｔ＾ｎとする。

　年齢（歳）　10　　20　　30　　40　50
大腸がん　1.066　17.6　91.2　292　722

ｋとｎを求めよって問題なんです。

R=kt^n
lnR=lnk+nlnt

ここまでできたんですが、ここからがわからないんです。

回答No.4

tatsumi01

あちこちで似た質問をされていますが、基本がわかっていないようですね。これは実測値に対する式の当てはめなんです。
しかし、R = kt^n のままではうまく行きません。あなたのしたように対数を取って一次式にします。しかし、自然対数ではなく常用対数の方が計算に便利です。
log R = log k + n(log t)
ここで変数を置き換え (y = log R, x = log t, C = log k)
y = n x + C
実測値を入れますと
x (log t) 1.000 1.301 1.477 1.602 1.699
y (log R) 0.028 1.246 1.960 2.465 2.859

これから n, C を求めるのですが、変数が２個、式が５個ですから解けません。したがって、５個の式に最も良くあてはまる n, C を求めます。
具体的には最小二乗法で解きますが、教科書 (参考書、問題集？) に最小二乗法の説明はある筈です。でないとこんな問題は出せません。
あるいは、最小二乗法は当然知っている筈の読者 (受講者？) を対象にした講義でしょうか。
一連の質問に一々お答えしませんが、もしこれで理解できたら他の質問と共に閉じて下さるようお願いします。未だ理解できなかったら、他の質問は閉じて、質疑はここに限定して下さい。

回答No.3

endlessriver

疑問
１．これは微分方程式の問題ですか
２．「大腸がん　1.066　17.6　91.2　292　722」って何？　Ｒとの関係は。
３．２９２／１．０６６＝２７３．９だが。

補足

1.lnを使うという意味で微分の問題かとおもってしまいましたが、よくわかりません。

2.大腸がん発生率　1.066　17.6　91.2　292　722　でした

3.273.9ということは255.1と数値は間違っているってことですか？

回答No.2

tatsumi01

No. 1 への補足
10 歳と 20歳の比≒16 から、n = 4 は直ぐ判りますね。
なるべく離れている方が正確だから 40歳との比を取ったら、256 に極めて近かったので正解かな、と。

補足

10 歳と 20歳の比≒16 から、n = 4 は直ぐ判りますね

とゆう説明ですが、これがわかりません。
どこから16や4や256という数値が出てきたんですか？

回答No.1

tatsumi01

厳密解はなさそうです。例えば t=10 と t=40 の発生率は
k 10^n = 1.066
k 40^n = 292
ですから両辺の比を取ると 4^n = 255.1 になります。
これから直感的には n = 4 ですね (n = log(255.1)/log(4) で解けますが。)
同じような式が４個立ちますが、全部での n は一致しません。
近似的に解くとしてですが。
両対数方眼紙って知ってます？
その上に、横軸が年齢、縦軸が発生率である点に印を付けます。この問題では５個の点が打てますね。それを最も良く通るような直線を引き、その傾きと切片から求めます。
目視よりは最小二乗法で直線を当てはめる方が良いでしょう。

補足

ご丁寧にありがとうございます。

たしかに答えはn=4.0です。
しかしなんで数ある式の中から10歳と40歳を使うとわかったのですか？
いい忘れましたが、両対数方眼紙は使わないで解く問題なんです。