微分式の理解

質問

η=(d ln B) /(dt)という式がありました。
対数関数Bをtで微分するという意味でしょうか？

またそれにはどんな意味があるのでしょうか？
お分かりの方がいれば、教えてください。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

>η=(d ln B) /(dt)
>　　= (dB/dt)/|B|
>　　= (dB/|B|)/dt・・はｄ(ln B)を全微分したと考えて / よいのでしょうか？

OK です。

ln(B(t)) は B(t) の(自然)対数、つまり合成関数の一種ですね。
これを t で(全)微分するには、下記ページにあるように、
　　ln(B) を B で微分した結果 (1/B) に、B を t で微分した B' を掛ける
のです。
　↓ (参照)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan.cgi?target=/math/category/bibun/gouseikannsuu-no-bibun.html
>合成関数を微分する手順

なお、B > 0 ならば |B| の絶対値は不要。

お礼

ご丁寧に本当にありがとうございました！！
大変助かりました。

回答No.3

noname#101087

>経済学の場面なのですが、たとえばタバコ税の税率が上昇したとき、そのタバコ税の税率をかける元の金額がどのように変化するのかという問題です。

あ、t は比率なのですね。それなら、理工系でいう感度係数(sensitivity coefficient)と同様な定義式です。

タバコ税ならおっしゃるとおり、「税率が上昇したとき、そのタバコ税の税率をかける元の金額がどのように変化するのか」を示す数値ですね。

　η=(d ln B) /(dt)
　　= (dB/dt)/|B|
　　= (dB/|B|)/dt

と変形したのを見ると、
　(dB/|B|) が課税標準の変化率
　dt が税率の変化率
を表してます。

もしかして、「課税標準の税率弾力性」とかいうのかな？

補足

全くおっしゃるとおりなのですが・・。
僕の数学の力がないがゆえに、変形の過程を教えていただけません
でしょうか？

η=(d ln B) /(dt)
　　= (dB/dt)/|B|
　　= (dB/|B|)/dt・・はｄ(ln B)を全微分したと考えて
よいのでしょうか？

回答No.2

noname#101087

たぶん、B は t の(実)関数でしょうから、
　η = (d/dt)(ln B) = (dB/dt)/|B|
　η*dt = dB/|B|
と変形してみると、ηは単位微小変化 dt の単位量に対応する B の変化率を表しているようです。

感度係数(sensitivity coefficient)なら、
　S = d(ln B)/d(ln t)
…これじゃなさそうですね。

どんな場面で使われているのでしょうか？

補足

説明が不足しており、すみません。
経済学の場面なのですが、たとえばタバコ税の税率が上昇したとき、
そのタバコ税の税率をかける元の金額がどのように変化するのか
という問題です。tが税率、Bが課税標準です。
タバコ税を例に取れば、例えばタバコ税の税率が５％でその課税標準が１００だとしたら、たばこ税の税金は５円ということになります。

回答No.1

Willyt

>対数関数Bをtで微分するという意味でしょうか？

そのとおりです。その意味はＢの微係数を求める式ということです。これはＢを縦軸に、ｔを横軸に取ったグラフを描いたとき、その任意の点での勾配が計算できることを意味します。