分数の不定積分とlogとeと√絡みの問題

質問

微分方程式の解を導くのですが、実際は分数の不定積分とlogとeと√が絡む問題です。自力で解こうとしているのですが、あと一歩で解けません。解き方を教えて下さい。まずは原文を引用します：

（前略）
これにより、
dJ(β)/dβ = -(1/2β) J(β)
が得られ、この微分方程式の解は
J(β) = C/√(β)
であることが、代入すれば確かめられる。ここでCは定数である。

…以上、引用終わり。
ここから自力です：

dJ(β)/dβ = -(1/2β) J(β)
dJ(β)/J(β) = -(1/2β) dβ
両辺をβで積分する
ln J(β) = ∫ (-(1/2β)) dβ + C
ln J(β) = -∫ (1/2β) dβ + C
ここで不定積分の式が登場
∫ { f'(x)/f(x) } dx = log |f(x)| + C
f(x) = 2β
f'(x) = 2
なので、もし
∫ (1/2β) dβ
ではなくて
∫ (2/2β) dβ
だったら
∫ (2/2β) dβ = log |2β| + C
になるので、辻褄合わせのために2/2を掛けます
ln J(β) = -∫ (2/2)(1/2β) dβ + C
ln J(β) = -(1/2) ∫ (2/2β) dβ + C
ln J(β) = -(1/2) log |2β| + C
（この辺りから雲行きが怪しくなる…）
logの前の係数はlogの右肩に乗せれるので
ln J(β) = log |2β|^{-(1/2)} + C
両辺をeの右肩に乗せる(？ 正しい呼び方は知りません)
e^{ln J(β)} = e^[ log |2β|^{-(1/2)} + C ]
J(β) = e^[ log |2β|^{-(1/2)} ] * e^C
J(β) = |2β|^{-(1/2)} * e^C
J(β) = √(|2β|)^(-1) * e^C
J(β) = 1/√(|2β|) * e^C
J(β) = (e^C)/√(|2β|)
ここでβ=0を代入してe^Cの値を確定するはずなのですが、βを0にするとゼロ割りになってしまうので何か間違っているはずです。
なんとなく、正答の
J(β) = C/√(β)
に雰囲気は似ているのですが、正答に辿り着けません。
どうか正しく導いて下さい。お願いします。

回答No.3

info33 · ベストアンサー

>dJ(β)/dβ = -(1/2β) J(β)

dJ(β)/dβ = -(1/(2β)) J(β)
とします。
βをbと書くことにします。

dJ(b)/db= -J(b)/(2b)

J(b)=0の場合　J(b)=0 ... (1)
J(b)≠0の場合
dJ(b)/J(b)= -(1/2) db/b
ln |J(b)|= -(1/2) ln|b| +C1 (C1は任意の実数定数)
　=ln(|b|^(-1/2))+ln(e^C1))=ln (C/√|b|), (C=e^C1とおく。).
|J(b)|=C/√|b|, (Cは正の任意定数) ... (2)

(1), (2)をまとめて
|J(b)|=C/√|b|, (Cは正または0の任意定数) ... (Ans.)
この解曲線を図示にたものを添付しておきます。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。自分にはC1→ln(e^C1)の発想はなかったです。覚えておきます。また、(Cは正の任意定数)→(Cは正または0の任意定数)のお陰で、同じ式でも意味合いが違うことが理解できました。図も役立ちました。ありがとうございました！

回答No.2

jcpmutura

間違っていません

C
が積分定数ならば
{(e^C)/√2}
も積分定数なので

J(β) = (e^C)/√(|2β|)
J(β) = {(e^C)/√2}/√|β|
で

{(e^C)/√2}
を
C
で置き換えれば

J(β)=C/√|β|

となります

お礼

なるほど、自分の答えもあながち間違いではなかったんですね、Cで違いを吸収させれば。時々、積分定数があればなんでもありなんじゃないか、と思うことがあります。実際は積分変数が絡んではいけないので制限はありますが。ありがとうございました！

回答No.1

noname#232123

(d/dβ)J(β)=(-1/(2β))*J(β) のとき、
失礼ながら細部は読んでいませんが、
●J(β)≠0 のとき、
{1/J(β)}*dJ/dβ=-1/(2β)=(-1/2)*(1/β) より、
ln|J(β)|=(-1/2)*ln|β|+ln|C|, すなわち、
J(β)= C/√|β| ...(*)です。
●J(β)=0 のときは、これがそのまま解です。しかしこれは、(*)においてC=0により得られるので結局、
(d/dβ)J(β)=(-1/(2β))*J(β) ⇔ J(β)=C*√|β|. です。
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※dy/dx=f(x)*g(y) は、変数が分離されているため、いきなり両辺をg(y)でわり両辺をｘで積分し解が求まります(普通は解が「初等関数」の範囲になるよう工夫されていること多し)。複雑なものでない限り「細かな途中計算」は不要です。

お礼

正直言いますと、ln|C|のところで躓きました。そこは一旦（No.3さんのように）C1など別のCで置き換えていただきたかったです。しかし、先にJ(β)≠0の場合を求め、その次にその式にC=0を代入してJ(β)=0の場合を求める順番は分かりやすかったです。いきなり両辺をg(y)で割るテクニックも覚えておきます。ありがとうございました。