数IIの証明問題

質問

x+y=1、3x+4y=1、ax+by=1が1点で交わるとき、(1,1)、(3,4)、(a,b)は同一直線上にあることを証明せよ。
という問題ですが、解説がいまいち詳しくなかったので質問してみました。
交点を(α,β)と置き、直線αx+βy=1上に3点が存在すると考えるとよいみたいなことが書かれていたんですが、これだけでは不十分じゃないでしょうか？

回答No.3

33550336 · ベストアンサー

No.1です。

＞あの後自分で考えた結果、交点の座標が（3,-2）と求まるので、
＞直線を3x-2y=1と置いて証明してみましたが、これは合ってますかね？

それでもいいと思います。

＞とりあえず、直線をαx+βy=1の形で表すというパターンを覚えておいたほうがいいですね、勉強になりました。

No.2さんのおっしゃるとおり、数学は暗記ではありません。
しかし、（主に入試の）問題を解くうえではある程度解法を知っておかないと解けないのも事実です。

どうせ暗記するのなら極や極線の話を知っておく、ぐらいの気持ちでいいのではないでしょうか。
ちなみに極、極線については、適当な参考書（たとえばチャート）にのっているので調べてみてください。

お礼

ありがとうございました。
このやり方のほうがしっくりきたのでこれを使うことにしました。

とりあえず極と極線のところを勉強することにします。

回答No.2

take_5

こういう質問が一番困るが、質問者が解説の概略を書いているだけで、解説の原文がわからないので断定できない。
出来れば、質問者の解説の要約ではなく、原文のままの解説を書き込んで欲しい。

＞とりあえず、直線をαx+βy=1の形で表すというパターンを覚えておいたほうがいいですね

それは駄目だ。数学は暗記ではない。

＞点を(α,β)と置き、直線αx+βy=1上に3点が存在すると考えるとよいみたいなことが書かれていたんですが

何故、このようにして良いのかの説明がなければ解答としては不十分。
考え方としては、極と極線のような推論だろう。

3直線の交点を（α、β）とすると、α＋β＝1、3α＋4β＝1、aα＋bβ＝1を満たす。
これは3点(1、1)、(3、4)、(a、b)がα*x＋β*y＝1上にある事を示している。

良く考えないと、手品のように感じるかも知れない。。。。。笑

お礼

ありがとうございます
説明が不足していましたが、暗記というのは受験数学では暗記しなければいけない（暗記しておくほうがよい）ことが多々あるなと思ったということです。
やはり証明は難しいですね。余裕があれば極と極線を勉強しようと思います

回答No.1

33550336

それだけで十分です。
なぜ不十分だと思ったのですか？

お礼

ありがとうございます。
解答として簡単過ぎないかと思いましたが、大丈夫ですか。

あの後自分で考えた結果、交点の座標が（3,-2）と求まるので、
直線を3x-2y=1と置いて証明してみましたが、これは合ってますかね？

とりあえず、直線をαx+βy=1の形で表すというパターンを覚えておいたほうがいいですね、勉強になりました。