可積分関数の上界について

質問

［０、１］上のルベーグ可積分関数ｆに対して、
　|ｆ(x)|≦M、a.e ｘ
となるような正数Mは存在しますか？

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

∫|f(x)|dx
がリーマンの意味の広義積分として存在するとき、f(x)はこの区間でルベーグの意味で可積分です。すなわちルベーグ可積分関数ｆに対して、
　|ｆ(x)|≦M、a.e ｘ
となるような正数Mは必ず存在するとは言えません。
　丸山徹「積分と関数解析」(シュプリンガーフェアラーク東京）
　p.126, 系3.9

しかし∫f(x)dx
がリーマンの意味の広義積分として存在してもf(x)はこの区間でルベーグの意味で可積分とは限りません。

お礼

回答、ありがとうございました。
大変参考になりました。