可積分の意味

質問

数学で可積分という言葉を調べると、シンプレクティック多様体とかソリトンとかカオス・フラクタルとかすぐに高等的な数学の情報に行きつきます。一方で初等的な意味では積分とは何かというと定積分では区間を短冊に区切って面積を足していく（∑）ということになり、おそらく短冊の幅を無限小に漸近させたものが積分ということになるんだろうと思います。結局は微分積分学とか解析学の冒頭に出てくる極限における収束ということでしょうか。それができるのが可積分、できないのが不可積分ということなのでしょうか。高等的な数学のあの理論は可・不可というジャッジは初等的な極限と同じということになるのでしょうか。どういうことなのか大まかにマッピングできるようになりたいと思ったのでお尋ねしました。三角関数のサイン・コサインは可積分でしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

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可積にはおおまかに二つの意味合いがあります。

　一つはあなたの積分のイメージです。ただし可積の前に可測という概念があります。それは測度論という分野で行われ、測度は集合に対して定義されますが、普通の面積概念の拡張です。じっさい任意の集合を考えると、普通の意味で面積を持たないようなものが存在します。普通の意味で面積を持つものを、可測集合と言います。
　連続関数のグラフは可測集合です。それで連続関数などは可測関数と言われますが、可積かどうかは可測関数が対象です。平たく言えば、可測関数には積分値が存在する事になりますが、その値が無限大なんかにならない場合が可積です。有界閉区間上の連続関数は、可測かつ可積です。

　もう一つの可積の意味は、可積分系に対するものです。シンプレクティック多様体（ハミルトン系）やソリトン方程式の族は可積分系，カオス・フラクタルは非可積分系だったように思いますが、これもイメージで言うと次のようになります。
　例えば微分方程式の形式解を導けるとき、「求積可能」といいますよね？。これを「可積」とはいいませんけど、卑近な例ではこういう事態が該当すると思います。可積分系とは、解が外微分形式で記述できる系だそうです(^^;)。要するに外微分形式での記述とは、形式解の事だと思ってOKと考えます。

お礼

回答ありがとうございました。可測という概念もあるのですか。測度論とも関係するのでしょうか。また、可測というものの中に可積・不可積があるという理解でいいでしょうか。不可測だったら当然不可積ということで。（外）微分形式まで呼び出されるわけですか。複素関数論とかベクトル解析でも積分は出てきますが、なめらかなものだけを取り扱うということに決めたからなのか、あまり可積分というようなことに目くじらを立てないように思うのですが。逆にそれができるものだけを対象としているからかなと思ったりします。