数列

質問

1)初項が0でない等比数列{An}がA1+2A2=0を満たしている。
このとき公比は(アイ/ウ)である。A1+A2+A3=9/4ならば、
A4+A5+A6=(エオ/カキ)であり、1/A1+1/A2+・・・+1/An=57
となるのはn=(ク)である。
2)Bn=pn+qであらわされる数列{Bn}に対して、初項から
第n項までの和をSnとする。B7=1、S12=10ならば
p=(ケ/コ)、q=(サシ/ス)である。

1)An=a・r^n-1とすると
A1=a
A2=a・r
a+2a・r=0
答えを見るとr=-1/2となっているので初項は1みたいなんですけど
どうすれば1が出てくるんでしょうか。
A1+A2+A3=9/4
a+a・r+a・r^2=9/4
a・r^3+a・r^4+a・r^5
r^3(a+a・r+a・r^2)=-1/8×9/4=-9/32
ってことでしょうか?
1/A1+1/A2+・・・+1/An=57はどうすればいいんでしょうか。

2)B7=7p+q=1...(1)
S12=12/2(p+q+12p+q)=10
78p+12q=10
39p+6q=5...(2)
(1)と(2)を連立してp=1/3、q=-4/3
でいいんでしょうか。

回答No.2

su-gaku · ベストアンサー

とりあえず（１）のみですが、よければ。

まず初項a1=1ではないのでは？

a1+2*a2=0 で初項a1=a、公比rとする

a+2(ar)=0
a(1+2r)=0

今、a≠0なので1+2r=0　∴r=-1/2

a1+a2+a3=9/4
a+ar+ar^2=9/4
a-a/2+a/4=9/4
3a/4=9/4 ∴a=3

したがって公比数列の一般項より

an=3(-1/2)^(n-1)=3/(-2)^(n-1)が導かれる

「A1+A2+A3=9/4
　a+a・r+a・r^2=9/4
　a・r^3+a・r^4+a・r^5
　r^3(a+a・r+a・r^2)=-1/8×9/4=-9/32」はＯＫです。

1/a1+1/a2+1/a3+…+1/an=57

（分母分子がひっくり返るので次の式はすべて分母３です）

(-2)^0/3+(-2)^1/3+(-2)^2/3+…(-2)^(n-1)/3=57

1+(-2)+(-2)^2+(-2)^3+…(-2)^(n-1)=171

{1-(-2)^n}/{1-(-2)}=171　　←ここは初項１、公比-1/2の等比数列の和

1-(-2)^n=513

(-2)^n=-512

∴n=9

ではないかな。

（２）までは目がショボショボして打てません。
どなたか解答をよろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl

> 答えを見るとr=-1/2となっているので初項は1みたいなんですけど
> どうすれば1が出てくるんでしょうか。

A1 + 2A2 = 0だけでは、初項aの値は決まりません。
A1 + A2 + A3 = 9/4ならば、初項は3になります。

a + ar + ar^2 = 9/4
r = -1/2なら
a - a/2 + a/4 = 9/4
この方程式をaについて解くとa = 3

> 1/A1+1/A2+・・・+1/An=57はどうすればいいんでしょうか。

An = 3(-1/2)^(n-1)
1/An = (1/3)(-2)^(n-1)　（逆数にすると、初項1/3、公比-2の等比数列になる）

よって1/A1 + 1/A2 + …… + 1/Anは、初項1/3、公比-2の等比数列の和です。
等比数列の和の公式に当てはめればnが求まるはずです。

> 2)B7=7p+q=1...(1)
> S12=12/2(p+q+12p+q)=10
> 78p+12q=10
> 39p+6q=5...(2)
> (1)と(2)を連立してp=1/3、q=-4/3
> でいいんでしょうか。

それで良いと思います。