数列の問題について質問です

質問

p,qを素数、rを１と異なる正の数とする。数列｛An｝は初項A1＝-p、公差qの通差数列であり。
｛An｝の初項からn項までの和をSnとするとき、S12=0を満たす。
また、数列｛Bn｝について、B7＋B8=10が成り立ち、logr(Bn)=An(n=1,2,3,…）を満たす

pとqの値を求めよという問題なのですが、どのように求めていいかわかりません。
詳しいやり方を教えてもらえると嬉しいです

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

rを正の整数とします．

A_n=-p+(n-1)q

∴S_n=(1/2)n(-2p+(n-1)q)

S_{12}=6(-2p+11q)=0より

q=2p/11

∴B_n=r^{A_n}=r^{-p+(n-1)2p/11}

=r^{(-11+2n-2)p/11}=r^{(2n-13)p/11}

∴B_7+B_8=r^{p/11}+r^{3p/11}=10

r^{p/11}=Rとおくと，

（☆）r^p=R^{11}

また

R+R^3=10

R^3+R-10=(R-2)(R^2+2R+5)=(R-2){(R-1)^2+4}=0

∴R=2

☆に代入して

r^p=2^11

これよりrは素因数2しかもたない．よってr=2^m(mは正の整数）とかけて

2^m=2^{11}∴m=11=p∴q=2p/11=2

(p,q)=(11,2)

回答No.2

alice_44

S_12=0 から q=2p/11 を導いた時点で、
p,q 素数より (p,q)=(11,2) に決まる。
以降は、十分性の確認のみでよい。