正規分布の式はどこからきたのか？

質問

正規分布の確率密度関数は、なぜ
f(x)=1／√（2πσ^2）×e^(-(x-μ）＾2）／2σ^2）
という式で与えられるのでしょうか？
この式の成り立つ所以は何でしょうか？
この式は、高校数学で習う内容でしたが、いつもどこから来たのかと思っておりました。
どなたかご存じの方はご教示願います。
ただ単に数学者ガウスが決めた式だからというのでは納得いきません。ガウスがこの式に至るまでの過程がおおざっぱでいいので知りたいのです。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

式で示そうとすると大変なのですが、
言葉で説明すると、とても簡単です。

それは、
「左右対称の二項分布で、回数を無限回にした極限が正規分布」
ということです。

元の点数をゼロとして、１個のコインを投げて表が出たら－１点、裏が出たら＋１点を足していく、という単純なゲームをします。
１回投げたら、－１の確率が１／２、＋１の確率が１／２です。
２回投げたら、－２の確率の確率が１／４、０の確率が１／２、＋２の確率が１／４です。
３回投げたら、－３の確率が１／８、－１の確率が３／８、＋１の確率が３／８、＋３の確率が１／８です。
４回投げたら、－４の確率が１／１６、－２の確率が１／４、０の確率が３／８、＋２の確率が１／４、＋４の確率が１／１６です。

以上を棒グラフにしてみると、平均をゼロとして左右対称な山の形になりますが、
コインを投げる回数を増やすごとに、形が細かくなり、輪郭がスムーズになっていきます。
回数を無限回にすれば、正規分布になります。

これを、工業において部品の１つ１つの寸法に当てはめると、出来上がった全体の寸法ばらつきは二項分布ないしは正規分布に関係すると考えることができます。

二項分布の式から正規分布の式になる過程については、こちらをどうぞ。
http://www.geocities.jp/gauss4684/serious/gauss.pdf

蛇足ですが、
（ａ＋ｂ）^1　＝　ａ　＋　ｂ
（ａ＋ｂ）^2　＝　ａ^2　＋　２ａｂ　＋　ｂ^2
（ａ＋ｂ）^3　＝　ａ^3　＋　３ａ^2ｂ　＋　３ａｂ^2　＋　ｂ^3
（ａ＋ｂ）^4　＝　ａ^4　＋　４ａ^3ｂ　＋　６ａ^2ｂ^2　＋　４ａｂ^3　＋　ｂ^4

係数だけ見れば、上から
１　１
１　２　１
１　３　３　１
１　４　６　４　１

各行の合計が１になるようにすると
１／２　１／２
１／４　２／４　１／４
１／８　３／８　３／８　１／８
１／１６　４／１６　６／１６　４／１６　１／１６

上に書いた確率とそっくりですよね。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

非常に分かり易い説明で、今まで疑問に思っていてことがだいぶ分かってきました。
二項分布がどういうものかもイメージが湧きましたし、回数を無限回にすれば正規分布になるであろうことが説明から予測できました。
また、正規分布の式に至るまでの過程についても、初めて知ることが出来ました。証明は難しいものであっても、今まで全くそれらしいものを見たことがなかったので、十分に満足しております。
本当に有り難うございました。

回答No.3

haragyatei

AとBのものが混じる有限母集団（N個の中から）の中からｎ個を選び出し、そのなかにAがx個含まれる確率を計算します。これは数学の場合の数の計算と同じです。1個だけの取り出しを考えるとAがM個あればAを取り出す確率はM/Nなのでこれをθとします。すると1個の取り出しではAがθ、Bが(1-θ)の確率で選び出されます。そして場合の数を計算すれば2項分布h(x)が求まります。Nを無限大にして変数変換すれば正規分布になりますが、難しい計算なので普通の本には載っていません。超幾何分布、ポワソン分布のどれも極限として正規分布が出てきます。だからNを無限大にすれば正規分布になるという定理があります。これが有名な中心極限定理です。

お礼

中心極限定理について説明して頂き有り難うございました。
正規分布が様々な分布に関係していることが知ることができました。

回答No.1

haragyatei

2項分布はどこから来たかすぐにわかると思います。2項分布の極限として出てきます。統計の本にいろいろな分布の条件を変えるとどれも正規分布が出るように式とともに示してあります。

お礼

素早い回答有り難うございました。

自分の疑問は、２項分布そのものについてきちんと理解できていないことも原因なのかもしれません。
２項分布とは簡単に言えばどのような分布なのか？
２項分布の極限がなぜ、正規分布に至ることになるのか？
またなぜそうなるのかイメージとしてわくような説明をして頂ければ助かります。