複素数の計算での質問

質問

初歩的な質問で申し訳ないのですが、

A=F{1-exp(iNφ)}/{1-exp(iφ)}
のとき、（Fは実数です）
|A|^2=F^2sin^2(Nφ/2)/sin^2(φ/2)
となるとあったのですが、この計算過程がわかりません；

関数Ｑ{exp(iφ)}　の絶対値の二乗を求めるときに、
Ｑ{exp(iφ)}*Ｑ{exp(-iφ)}　で計算するようなことが書いてあったのですが、
（i.e. writing -i instead of +i)
これって出来るんでしょうか？？
出来たとして計算してみたのですが、計算が間違っているのか
三角関数がうまくまとめられずに上記の答えにならないです…。
もしよければ、計算過程を詳しく教えてください。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

A=F{1-exp(iNφ)}/{1-exp(iφ)}
＝Fexp(iNφ/2)}/exp(iφ/2) ×{exp(-iNφ/2)-exp(iNφ/2)}/{exp(-iφ/2)-exp(iφ/2)}
＝Fexp(iNφ/2)}/exp(iφ/2) ×{sin(Nφ/2)}/{sin(φ/2)}

|A|^2 = (A*) A
= [ F exp(-iNφ/2)}/exp(-iφ/2) ×{sin(Nφ/2)}/{sin(φ/2)} ]
　× [ F exp(iNφ/2)}/exp(iφ/2) ×{sin(Nφ/2)}/{sin(φ/2)} ]
= F^2 ×{sin^2(Nφ/2)}/{sin^2(φ/2)}

[ (A*) はAの複素共役]

ですね。X線回折でしょうか。

ご存じだろうとは思いますが、念のため書いておきますと、

sinθ = [ e^(iθ) - e^(-iθ) ] /2i

を使っています。

お礼

ありがとうございました。とてもすっきりしました。

お察しのとおりX線回折です。

補足

sinθ = [ e^(iθ) - e^(-iθ) ] /2i
の公式が思い浮かばなかったのが致命的でした。

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足の回答
>の^*という記号を初めて見ました。
まだまだ不勉強ですね。
日本でも、海外でも両方の記号が使われています（正式な学会の論文や著書で使われる）。

>^はべき乗、*は乗算の記号と理解していますが、
>^*で共役いう意味の記号と理解してよいですか？

右肩の上に「*」を書いて共役の記号で使います。
上にバー（アッパー・バー）を書いて共役を表す事もありますが、
こういった手書き文字しか書けないサイトでは「肩付*」が共役複素数をとる記号、或いは、複素共役の記号として使われてます。

●どちらの記号も使う
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/folder1/jugyo/kihon_complex01.pdf
http://planetmath.org/encyclopedia/ComplexConjugate.html

●「^*」
http://ufcpp.net/study/ref/conjugate.html
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/bracket.html
http://homepage2.nifty.com/masema/complex_number.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/010cmp.html
http://ufcpp.net/study/set/complex.html

●「upper bar（上にバーを書く）」
(これは論理回路やブール代数では否定の記号にも使われる)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
http://www.suriken.com/knowledge/glossary/conjugate-complex-number.html
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/node45.html
http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/kisokaku018.htm
http://www.teachersparadise.com/ency/ja/wikipedia/a/a_/a_a_e_c__5.html
http://encyclopedie-ja.snyke.com/articles/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0.html
など。

> あと、なぜA^*(iφ)=A(-iφ)なのでしょう？
少し不勉強ですね。複素関数論を勉強すれば
s=a+ib（a,bは実数）とすれば
A(s)の実部がsの偶関数になります。（s^2の関数）
A(s)の虚部はsの奇関数になります。
s=iφ(a=0,b=φ（実数）の場合についても当てはまります。）
そうすればA^*(iφ)=A(-iφ)が言えます。
少し複素関数論の勉強をしてみてください。

> Aがどんな関数でもなるのですか？
係数が実数係数の関数で変数が複素数の関数ならそうなるでしょう。
あなたの知っている初等関数を複素関数に拡張したものは皆そうなるでしょう。
これも複素関数論を勉強すれば分かるでしょう。

sin(a+ib)=sin(a)cos(ib)+cos(a)sin(jb)=sin(a)cosh(x)+icos(a)sinh(b)
sin(a-jb)=sin(a)cos(ib)-cos(a)sin(jb)=sin(a)cosh(x)-icos(a)sinh(b)
など
A(jb)=sin(a+jb),A(-ib)=sin(a-ib)=A^*(jb)
の関係にありますね。
自分で知っている関数について適用して確認してみて下さい。

お礼

詳しい回答本当に有り難うございました。
肩の上に乗せるという意味で^*なのですね。

url等参考にして、勉強させていただきたいと思います。
重ねて有り難うございました。

回答No.2

info22

A(iφ)の時
共役複素数は
A^*(iφ)=A(-iφ)
になります。
そして
|A(iφ)|^2=A(iφ)A^*(iφ)=A(iφ)A(-iφ)
となります。
つまり
|A|^2=[F{1-exp(iNφ)}/{1-exp(iφ)}]*[F{1-exp(-iNφ)}/{1-exp(-iφ)}]
=(F^2){1-exp(iNφ)}{1-exp(-iNφ)}/[{1-exp(iφ)}{1-exp(-iφ)}]
で計算できます。
これにオイラーの公式
http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node33.html
を適用して式を変形すればいいでしょう。

補足

回答ありがとうございます。助かります。

不勉強で大変申し訳ないのですが、
A^*(iφ)=A(-iφ)
の^*という記号を初めて見ました。
^はべき乗、*は乗算の記号と理解していますが、
^*で共役いう意味の記号と理解してよいですか？

あと、なぜA^*(iφ)=A(-iφ)なのでしょう？
Aがどんな関数でもなるのですか？