積分がわかりません(東京農工大学07後期-数・化)

質問

東京農工大学の07年度後期試験の化学・数学の大問1の〔1〕の(b)が解答を見ても理解できません。

問題は単純な定積分で
∫(範囲は1/√3から√2/√3)t/√1-t^2 dtまでは理解できたのですが
次の行が[-(1-t^2)^1/2](範囲1/√3から√2/√3)となっているところが理解できません。
部分積分法を使ってとくのかと思い試してみましたが
解答と同じ式+∫(範囲1/√3から√2/√3)(1-t^2)^1/2 /t dtとなってしまいます。

解説お願いします。
あとパソコン上では積分の範囲はどのように書けばよいのでしょう?

回答No.5

teturou78 · ベストアンサー

ANo.1です。合格おめでとうございます。

∫f(g(t))×g '(t)dt　の形の積分は一気に出来ます。正確に言うと
置換積分ですが、次のような公式（？）を勉強した経験があるの
ではないかと思います。

∫{f(t)}^α×f '(t)dt = {f(t)}^(α+1)/(α+1)+C
　（この式、右辺を微分すると左辺の式になりますよね）

今回の問題では、上の式でf(t)=1-t^2 と見ると、f '(t) がかけら
れている形と見ることができるので置換せずに一気に積分できます。

これでわかるでしょうか？

お礼

教科書には載っていませんでしたが参考書として使っているチャートに載っていました。
こんな方法があるんですね。
休みを活かして、復習したいと思います。

貴方には何回も回答して頂き、本当にありがとうございました。
おかげさまで理解することができました。
また他の皆様もお礼が遅れたりとご迷惑お掛けしました。

回答No.4

teturou78

ANo.1です。部分積分の問題ではないと思います。

式の形から積分がわからなければ、ルートの中をxと置き、置換積分
してみてください。

ただ、本来は置換などせずにそのまま積分する問題です。教科書・参
考書にも載っているのではないかと思いますが（手元にないので確認
できません）。

後期試験がんばって下さい。

お礼

ありがとうございます。
無事理解して解くことができました。

いちおう教科書を確認してみましたが、置換以外で解く方法はないかなと思いました。
よろしければ「そのまま積分」の方法での解答の方法を記述していただけると、非常に嬉しいです。

実はこんな問題も解けないのに前期で合格したので、後期試験は受けないのです。
微分積分は圧倒的に問題演習の量が少なかったので春休みに少しやります。

回答ありがとうございました。

回答No.3

gokigen777

すでに回答された方の考えた方でよいとは思うのですが、補足を。

∫{t/√(1-t^2)} dt=-(1-t^2)^1/2 +C
となるのが分からないようでしたら、上の式の左辺でt=sinθ (0<θ<Π/2)と置いて計算してみてください。右辺のようになるはずです。

質問された問題は上の不定積分が定積分になっただけです。積分範囲の両端のtの値がうまくθに対応していれば(例えばt=1/2,√3/2など)、t=sinθの変数変換で解いて良い問題だと思います。

お礼

まず最初に前の方達と同様にお礼が遅くなり申し訳ありません。

確かに置換すればなりますが、この式の場合はθが上手く対応してないので、
不定積分には使えるけど、定積分に使えないので悩んでいるのです。
しかし、上からの流れを理解する参考になりました。

回答ありがとうございました。

回答No.2

info22

>理解できません。
質問者さんが理解できないだけでしょう。じっと眺めて落ち着いて考えると、何だそうかと、分かるはずです。
つまらない、質問だと気が付くでしょう。

それでも分からなければ
#1さんが言われる通り、
[-(1-t^2)^1/2]
を微分してみてください。
そして、「積分は、微分の逆の操作だ」という事を、頭において、
またじっと式と睨めっこして、落ち着いて考えてみてください。
なる程と気が付くと思います。
気が付くまで積分前と積分後の被積分関数を
「積分は、微分の逆の操作だ」という事を、頭において、
考えて下さい。きっと分かるようになると思います。

> あとパソコン上では積分の範囲はどのように書けばよいのでしょう?

過去の積分の質問にありますので、参考にして下さい。

∫(1/√3→√2/√3) {t/√(1-t^2)} dt
∫(1/√3,√2/√3) {t/√(1-t^2)} dt
∫[1/√3→√2/√3] {t/√(1-t^2)} dt
∫[1/√3,√2/√3] {t/√(1-t^2)} dt
∫(1/√3～√2/√3) {t/√(1-t^2)} dt
∫[1/√3～√2/√3] {t/√(1-t^2)} dt

など、いずれでも良いかと思います。

お礼

まず下の方と同じくお礼が遅くなり申し訳ありません。

解きなおして自分の考えのミスがわかりました。
とにかく下から上の流れでは理解できました。

私は
u t u' 1
v' (1-t^2)^-1/2 v -(1-t^2)/t
と考えていましたがv'の積分の部分が間違いしていたようです。

しかし逆算すれば理解できるのですが、どうも上からの流れが良くわかりません。
もしよろしければご教授ください。

回答No.1

teturou78

答えを言っては勉強にならないと思いますので一言。

「次の行」を微分すると、元に戻りませんかね？

お礼

まず御礼が遅くなり申し訳ありません。

確かに戻りますね。
部分積分をする時に何かミスをしたかなと今考え中です。

解答ありがとうございました。