平方根の難しい問題 高校入試から

質問

高校入試の問題で解き方がわからない問題があったので、教えていただけませんか？

問題
√840-12mが自然数となれるような自然数mの個数を求めなさい。

うえの表記だとわかりにくいですが、√の範囲に-12mまで含まれています。

＜自分がやった解き方＞

840-12m=a×a aは自然数

左辺の因数をもとめて

12(70-m)=a×a

ここからどう発想していけばいいのでしょうか。難問なのでコマってます。よろしくお願いします！

回答No.3

htms42 · ベストアンサー

＞12(70-m)=a×a
＞ここからどう発想していけばいいのでしょうか

ここまで来てお手上げというのは情けないですね。
行き詰ればまず試行錯誤でもいいですからいくつか求めてみればいいと思います。
初めからきれいにやろうとしても出来ないと思います。
こういうところに目をつけるといいのだというのが分かってくれば解き方が分かります。人に聞いた回答も問題集の回答もそういう途中の試行錯誤は省かれています。すっと一本道で解答が出てくるように思ってしまいます。解法を覚える事になってしまいます。
ルートが外れるというのはどういうことかを考えながら一歩ずつ解きほぐしていけばいいのです。

１２（７０－ｍ）＝ａ×ａ
と書いたということは解きほぐしの手順を表しているはずです。でもこの式を書いただけで行き詰ってしまったというのはこの式が形式的に書かれたものであって意味がピンと来ていないのではないかと思うのです。分かっていればもう一歩先に進むことが出来るはずだと思います。

√(１２）＝２√３
となることは分かりますね。
１２=４×３
で４が２乗数だからです。
全体の√が外れるためには残りの部分も２乗数になっていなければいけないはずです。
３（７０－ｍ）＝ｂ×ｂ　（ｂ≧１）
（これで一歩進みました。）

３(７０－ｍ)が何かの２乗になっています。３が１つあるのですから（７０－ｍ）の約数の中に３が含まれていないといけません。（７０－ｍ）は３の倍数です。だから（７０－ｍ）を３で割った残りが何かの２乗になるはずだということになります。また一歩進みました。
（７０－ｍ）＝３×ｃ×ｃ　（ｃ≧１）
です。
ここまでくればｂに１つずつ数字を入れていってもたいした手間ではありません。
ｂ×ｂ≦２３
ですから　ｂ＝１，２，３，４　の４つです。

回答はこれをもっと縮めて数式だけの表現にしているでしょう。
でも初めからそういう解き方がすらすらと出てくることを前提にする必要はないのです。

お礼

たいへんにわかりやすいご説明、ありがとうございました。

回答No.4

R_Earl

ANo.1です。

√840-12mは自然数になるので、(70 - m) = 0は不適でした。
失礼しました。

回答No.2

info22

>12(70-m)=a×a
12=3*(2^2)
ですから
aは6倍数だと分かる。
a=6nと書けるから
12(70-m)=36n^2
70-m=3(n^2)≧3…(A)
1≦m≦70-3=67…(B)
n^2=23-{(m-1)/3}…（C)
m=3k+1(kは自然数）…(D)
(C)に代入して
23-k≧1→1≦k≦22…(E)
(D)を(C)に代入
n^2=23-k
(E)の範囲のkを順に代入してn^2になるkをしらみつぶしに調べる。
23以下の自乗数n^2は
1,4,9,16
の4通りしか無い。
この時のkは順に
k=22,19,14,7
このkに対するm=3kは順に
m=67,58,43,22
の4通りとなります。

検算）
上記のmに対する√(840-12m)=2√{3(70-m)}を計算すると順に
6,12,18,24
となって自然数となることが確認できましたね。

回答No.1

R_Earl

> 12(70-m)=a×a

√nが自然数になるとき、nを素因数分解すると、素因数はすべて偶数乗になります（あるいは、n = 0, 1）。
つまり、素因数分解して、偶数乗を作るようにすれば良いわけです。

12を素因数分解すると(2^2)×3
12(70 - m) = (2^2) × 3 × (70 - m)

2は偶数乗になっていますが、3は偶数乗になっていません。
なので(70 - m)は、『3の奇数乗 × 何かの偶数乗』という形をとります。

ここから、(70 - m)に当てはまる数を考えていきます。
『3の奇数乗』は3, 27, 81, …ですが、(70 - m)は69以下なので、今回は3と27のみ採用します。
『何かの偶数乗』として考えられるのは、0, 1, 4, 9, 16, 25, …です。
この2つを掛け合わせてできる69以下の数は、

『3の奇数乗』が3の時、
0, 3, 12, 27, 48
『3の奇数乗』が27の時、
0, 27

よって、(70 - m) = 0, 3, 12, 27, 48です。

お礼

どうもありがとうございました。納得しました。