高校入試問題

質問

高校入試問題

（１）　√１８（a二乗＋b二乗）が自然数となるような自然数a,bの値の組を3組求めなさい。
（２）　√１８（a二乗＋b二乗）が３０以下の自然数となる時、自然数a,bの値は何組あるか求めなさい。

この二つの問題の、解き方を教えてください。

受験までもう少しですがまったくわかりません。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

１８＝３＊３＊２ですから、
√１８（ａ＾２＋ｂ＾２）＝３√２（ａ＾２＋ｂ＾２）
です。これが自然数になるためには、上式の√の中にある２が外に出せないといけないので、ａ＾２＋ｂ＾２は偶数でなくてはなりません。そこで、ａ＾２＋ｂ＾２＝２ｃとおくと
３√２（ａ＾２＋ｂ＾２）＝６√ｃ
となり、これが自然数になるためにはｃが自然数の二乗にならねばなりません。
以下、ｃの値を仮定してａとｂの値を考えます
（１）ｃ＝１（つまり１の二乗）のときａ＾２＋ｂ＾２＝２なのでこれを満たすａ，ｂは１と１
（２）ｃ＝４（つまり２の二乗）のときａ＾２＋ｂ＾２＝８なのでこれを満たすａ，ｂは２と２
（３）ｃ＝９（つまり３の二乗）のときａ＾２＋ｂ＾２＝１８なのでこれを満たすａ，ｂは３と３
（４）ｃ＝１６のときａ＾２＋ｂ＾２＝３２なのでこれを満たすａ，ｂは４と４
（５）ｃ＝２５のときａ＾２＊ｂ＾２＝５０なのでこれを満たすａ，ｂは１，７と７，１と５，５

例えば上記の（２）の場合、
ａ＝１とするとｂ＾２＝７なのでｂは自然数にならず不適
ａ＝２とするとｂ＾２＝４なのでｂ＝２
ａ＝３とするとｂ＾２＜０なのでｂは自然数にならず不適

という具合にａの値を振って考えます。

お礼

やはり基本をしっかり頭に入れておかないと難しいってことですよねｗ

2度も親切に答えてくださってありがとうございました！

受験頑張ります。

補足

上式の√の中にある２が外に出せないといけないので、ａ＾２＋ｂ＾２は偶数でなくてはなりません。そこで、ａ＾２＋ｂ＾２＝２ｃとおくと
３√２（ａ＾２＋ｂ＾２）＝６√ｃ

この部分が難しいです・・・ｗ

回答No.3

gohtraw

＃１です。
　３√２（ａ＾２＋ｂ＾２）が自然数になるためには、根号の中、つまり２（ａ＾２＋ｂ＾２）が平方数でないといけないわけです。つまり２（ａ＾２＋ｂ＾２）が平方数の積（例えば２＾２＊３＾２＊５＾２みたいな）である必要があるわけです。
　２（ａ＾２＋ｂ＾２）は２を約数としてもち、かつ平方数なので、２＊２もまた約数であるはずです。これらよりａ＾２＋ｂ＾２は２を約数として持つ、つまり偶数であるといえます。
　ａ＾２＋ｂ＾２＝２ｃとすると３√２（ａ＾２＋ｂ＾２）＝３√（２＊２ｃ）＝６√ｃ
となります。

回答No.2

tarame

（１）　√18（a^2＋b^2)＝3√2(a^2＋b^2)　だから、
自然数となるためには、√の中が平方数（自然数を２乗した数）となればよい。
また、2(a^2＋b^2)　は偶数なので、平方数のうち偶数なのは
2(a^2＋b^2)＝４，１６，３６，６４，１００，・・・・
よって
a^2＋b^2＝２，８，１８，３２，５０，・・・・

あとは、みたす　a,b　を見つけるだけ
　２のとき　(a,b)＝(1,1)
　８のとき　(a,b)＝(2,2)
１８のとき　(a,b)＝(3,3)

（２）は、3√2(a^2＋b^2)≦３０　より　√2(a^2＋b^2)≦１０
よって、a^2＋b^2≦５０　となります。
あとは、（１）と同じように考えて数えましょう。

お礼

なるほど！わかりやすく説明していただいてありがとうございますｗ

本当にお手数かけてすいません。

受験頑張ります！