極座標？

質問

点Ｏを中心とする半径１の円に正ｎ角形Ｐ(0)、Ｐ(1)、…Ｐ(n-1)が内接している。

Ｐ(0)を点(1,0)として座標軸に書くと、∠Ｐ(0)ＯＰ(k)＝2kπ/nであるので、（k=0,1…n-1)
Ｐ(k)の座標は（COS2kπ/n,SIN2kπ/n）

となっているのですが、X座標の方は-COS2kπ/nになることもあるのではないでしょうか？Ｐ(k)がX軸の負側のとき∠Ｐ(0)ＯＰ(k)＝2kπ/nだからＰ(k)からX軸に垂線を下ろして足をＨとすると、∠ＯＰ(k)Ｈ＝180-2kπ/n
よって、Ｐ(k)のX座標；COS(180-2kπ/n)=-COS2kπ/n

一体どこがおかしいのでしょうか。よろしくおねがいします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

∠ＯＰ(k)Ｈ＝180-2kπ/n　に誤りがあります。（度数法と弧度法の混在に違和感を感じますが。）
　＃１さんの言われるように、∠ＯＰ(k)Ｈ=(2kπ/n)－π/2　が正しいと思います。

　∠Ｐ(0)ＯＰ(k)＝2kπ/n　ですから、
　　∠ＨＯＰ(k)＝２π－∠Ｐ(0)ＯＰ(k)＝π－2kπ/n

　直角三角形ＨＯＰ(k)において、∠ＯＨＰ(k)＝∠Ｒ＝π/2　ですから、
　　∠ＯＰ(k)Ｈ＝π/2－∠ＨＯＰ(k)＝π/2－(π－2kπ/n)
　∴∠ＯＰ(k)Ｈ＝2kπ/n－π/2

　このようにすればＰ(k)のＸ座標は、
　　－sin∠ＯＰ(k)Ｈ＝－sin(2kπ/n－π/2)＝sin(π/2－2kπ/n)
　＝cos(2kπ/n)
となり、元の∠Ｐ(0)ＯＰ(k)のcosをとったものと同じになります。

お礼

∠ＯＰ(k)Ｈ＝180-2kπ/nのところは書き間違いをしてしまいました。
どうやらP(k)が負のときにマイナスを付け忘れていたみたいです。
みなさんありがとうございました。

回答No.2

noname#70519

2kπ/n で k が増すにつれ、角は第一象限から、第二、第三、第四象限と進んでいきます。
それにつれて、cos(2kπ/n) は、各象限において、正、負、負、正と変わっていきますね。
第二、第三象限の時を例に挙げていますが、角度の取りかたは、変えなくても良いのです。
Ｐ(k)の座標は、{cos(2kπ/n),sin(2kπ/n)} で良いのです。

お礼

∠ＯＰ(k)Ｈ＝180-2kπ/nのところは書き間違いをしてしまいました。
どうやらP(k)が負のときにマイナスを付け忘れていたみたいです。
みなさんありがとうございました。

回答No.1

nious

∠OP(k)H=(2kπ/n)-90
x＜0では、x=-sin(∠OP(k)H)=cos(2kπ/n)

お礼

∠ＯＰ(k)Ｈ＝180-2kπ/nのところは書き間違いをしてしまいました。
どうやらP(k)が負のときにマイナスを付け忘れていたみたいです。
みなさんありがとうございました。