内接円 中心 座標

質問

x軸と3y-4x=0と3x+4y=12の作る三角形の内接円の中心の座標を求めよ

中心を(p、q)とするとそれぞれの直線と中心の距離が同じということから点と直線の距離の公式を使って

p=2qかつ(q/3)+4
または
p=2qかつ-3q+4
または
p=-q/2かつ(q/3)+4
または
p=-q/2かつ-3q+4

というのは分かったのですがここから進めません
教えてください

回答No.5

ereserve67

ANo.1です．

3q-4p|=4p-3q,|3p+4q-12|=12-3p-4qとはずした理由．

3q-4p<0，3p+4q-12<0すなわちq<(4/3)pかつq<3-(3/4)pは(p,q)が2直線3y-4x=0,3x+4y-12=0の下方にあることを意味するからです．他の回答者の図をみても明らかなように．

そのことによって2行目のケースが選択されました．q>0は結果的に成り立ちます．

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.4

suko22

すみません。まず訂正です。
＞それで、ｐ＝2ｑとｐ＝-3ｑ+4を連立方程式で解くと、
＞ｐ＝4/5、ｑ＝8/5となります。
＞
＞ｑは半径にも等しいから半径は8/5となります。

ここｐ＝8/5、ｑ＝4/5でした。だから半径は4/5です。

それで、ご質問の件ですが、

＞0＜ｐ＜4
＞かつｑ＞0

＞に※だけが当てはまるのはなぜですか？

＞＞p=2qかつ(q/3)+4・・・※1
＞＞または
＞＞p=2qかつ-3q+4・・・※
＞＞または
＞＞p=-q/2かつ(q/3)+4・・・※2
＞＞または
＞＞p=-q/2かつ-3q+4・・・※3

※2と※3は連立方程式を解くと、ｐかｑのどちらかが負になるので不適。
※1の連立方程式を解くと、ｐ＝12/5、ｑ＝24/5

そうですね。※1の可能性もあるので、もっと条件を絞ります。

２直線の交点を連立方程式で出すとｙ座標はｙ＝48/25となります。

だから三角形の内接円になるには、ｑの座標が0＜ｑ＜48/25とならなければなりません。

だから、※1はｑ＝24/5なので不適。

これでどうでしょう？

（子供の落書きみたいになりましたが）図を添付しておきました。参考にしてください。

補足

※1は
2q=(q/3)+4
6q=q+12
q=12/5
になりませんか？

回答No.3

suko22

＞p=2qかつ(q/3)+4
＞または
＞p=2qかつ-3q+4・・・※
または
＞p=-q/2かつ(q/3)+4
または
＞p=-q/2かつ-3q+4

これのかつのあと、全部ｐ＝が抜けてます！

ここで簡単な図で位置関係を調べてください。
ｐの範囲は、0＜ｐ＜4
かつｑ＞0（上限は2直線の交点ですが、ここではそこまで調べなくてたぶん大丈夫です）
を満たすのが三角形に内接する円であることがわかります。

この条件を満たしているのは、※のみです。
それで、ｐ＝2ｑとｐ＝-3ｑ+4を連立方程式で解くと、
ｐ＝4/5、ｑ＝8/5となります。

ｑは半径にも等しいから半径は8/5となります。

やり方はあってます。あとは計算です。図を描けばわかりますが候補の円が４つでます。
そのうち三角形に内接するものを解します。

補足

0＜ｐ＜4
かつｑ＞0

に※だけが当てはまるのはなぜですか？

回答No.1

ereserve67

図を書いてみると

☆中心(p,q)はx軸の上方にあり，2直線3y-4x=0と3x+4y-12=0の下方にあります．

だから，

|3q-4p|=4p-3q,|3x+4y-12|=12-3p-4q

したがって内接円半径qを中心と2直線の距離と表すことにより

(4p-3q)/5=(12-3p-4q)/5=q

すなわち

p=2q,p=4-3q

☆から2行目の式が選択されます．

∴p=8/5,q=4/5

中心(8/5,4/5)

お礼

ありがとうございました