フラクタルを等比級数の和で示すことは可能ですか。

質問

フラクタルに関する通俗書を読んで得られる印象からフラクタルというのは等比級数とどこか関係があるのだろうかと考えました。本当はどうなのでしょうか。

回答No.1

irija_bari · ベストアンサー

例えばフラクタル図形の1つにコッホ曲線(Wikipediaより参照)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%9B%E6%9B%B2%E7%B7%9A
というものがあります。

上記のページを見ていただければわかるように、1本の線分をどんどん変形させてできあがる曲線です。

Wikipedia の言葉を借りながら説明してみます。
始めの1本の線分の長さを a とすると、
1回変形させたとき（線分を3等分し、中央の線分を1辺とする正三角形を描き、下の辺を消す）
の長さのは 4/3 * a です。
同様に、2回変形させたときの長さは (4/3)^2 * a です。

ですから、n回変形させたときは長さは、(4/3)^n * a です。
(n - 1)回変形させたときからの長さの増分は、
(4/3)^n * a - (4/3)^(n - 1) * a = 1/3 * (4/3)^(n - 1) * a
ですよね？
（読みにくいですから、実際に紙に書いてみてください。）

無限回変形を繰り返すとコッホ曲線になるわけですから、コッホ曲線の長さを増分の和で表すと、
a + Σ(4/3)^(n - 1) * 1/3 * a
(Σは n = 1 から∞までの和）
となり、コッホ曲線の長さを等比級数の和で表せました。

お礼

早速懇切丁寧に教えていただきありがとうございます。改めて勉強させていただきます。

回答No.2

zk43

フラクタル図形は自己相似集合が多いので、内部が自分自身と相似な
無限個の集合から構成されていて、従って、その測度が等比級数の和
で表わされるのが一般的なのだと思います。

お礼

測度という概念が重要なのですね。御教示ありがとうございました。