０の０乗は１、にしたい（続き）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
の続きです。

０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。
でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。

そこで、べき乗（累乗）の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

なお、常識的には…という話は、遠慮願います。
＃Wikipediaも変わりますので。

これまでの議論で主張したこと：
(1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。
(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。
(3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外）
(4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。
(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。
(6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。
(7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。
(8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。

たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。
＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

回答No.5

ringohatimitu · ベストアンサー

前回の質問におけるたくさんの回答者さんの結論ではっきりと終わってると思いますが結論は「自然数を相手にする限りその定義で問題無い」です。自然数の指数のやり取りだけが問題になってるのですから。他への関連性は全くないです。更にそのように定めて何か得することがあるのかと言えば皆無だと思います。0^0を定義しなければならない状況にこれまで遭遇したことは多分無かったと思います。便宜上0!=1と定義することは多々ありましたが（ただこの場合は階乗の拡張であるΓ関数と矛盾することがない、すなわちΓ(n)=(n-1)! (n≧1)ですがn=0として自然に連続に拡張できる）。
連続性が絡んでくると0^0をどのように定めてもx^yは連続にはならないことはすでに示されてます（例えばlim[x→∞] x^{-1/(log x)} (=1/e)から明らかですね）。

以下個人的意見ですが数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。上で挙げた階乗との比較ですが0^0の場合は連続に拡張できることもなく単にその値を定義しただけのように思われます。一方0!=1の定義自体何と言うこともないですが（これもこれだけでは全く面白みがない、便利なことはしばしばですが）、実は背景に「Γ関数」なるものが潜んでいて結果0!=1という定義の正当性を遥かに超えて解析、数論において数え切れないくらいの貢献をしてるということはほとんどの人が認めるところだと思います。要するに定義はどうでも良いというか何か「面白い事実（言い換えると非自明な事実）」が得られるのかということです。基礎論の人はそう思ってないかもしれませんが。

お礼

＞数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。

便利かどうかでやってたら、それは数学ではなく、算数です。
それに、０＾０＝１を定義しない数学は、浅く感じるんですよね。
もっと突き詰めて考えて、その結果定義できないという結論なら納得ですが、面倒だから定義しない、というのは、情けないです。

０＾０とその近傍の構造は、（無限大を考えるのと同じくらい）面白い事実（非自明）と思えるのですが…
それに、Wikipediaでも１つの項目になるほど、関心が高い問題だと思います。
でも、あなたに興味がなければ、無視していいです。

ありがとうございました。

回答No.19

Tacosan

d(x, y) = abs(y*log x) って, 何と何の距離を導入してんだか.
それにしても, x^0 も 0^x も x = 0 で連続じゃないって認めてるのになんで x^0 だけ連続にしようとしてるんだろ!?

お礼

＞d(x, y) = abs(y*log x) って, 何と何の距離を導入してんだか.

(0,0)との距離です。
関心があるのは、この位置との距離だけですから。

＞x^0 も 0^x も x = 0 で連続じゃないって認めてるのになんで x^0 だけ連続にしようとしてるんだろ!?

x^0の距離を求めると、常に０です。
よって、この曲線は(0,0)を通ることになり、極限値は１となります。

＞単に「(x, y)→(0, 0) で x^y の極限値が存在しない」と言っているだけですが

距離の導入により、極限値は存在するようになりました。

ありがとうございました。

回答No.18

ringohatimitu

＞逆に、連続な曲線はy=0だけなのか、という質問には答えられるのですか？

はい。答えはＮＯです。原点での値を1とします。そのとき例えば原点への極限が1になる曲線はy=x,y=x^2,y=√x,..など無数にあります。

＞距離d(x,y)=abs(y*log(x))を導入します。

意味ないと思います。私の挙げた(x,-1/(log x))見てもらえましたか？
その「距離」は常に1ですね？

また(x,-1/{(log x)+1})は非自明な関数で（特に定数ではありません）x→0で1/eに近づきます。この場合も距離は0に近づかなく1に近づきます。

突き詰めれば突き詰めるほど穴が出ると言ったのはこういうことになるであろうからです。

お礼

＞その「距離」は常に1ですね？

距離の意味は、分かってますか？
常に１ということは(0,0)には近づいていない、ということです。

距離が近づく関数を作ってください。
そうすれば、極限値は１となりますから。
また、そういう曲線は幾らでも作れますから、その領域では連続ということになります。

回答No.17

33550336

No.14です。

＞これは、0^0=1を定義すると、x=0でも連続です、ということです。

確かにその通りです。

＞x^0が連続であるためには、0^0=1である必要がある。
＞だから、連続性をx^0に求めるという制限によって、１なのです。
＞0^0を任意に決めることが出来ないことを示しています。

じゃあなぜx^0が連続である必要があるのですか？
別に「連続性をx^0に求めるという制限」はないと思いますが。
まず、この制限がつく理由を教えてください。

＞他に連続なのがあるかどうかは、分かりませんが…

多変数関数f(x,y)=x^y（まだ0^0の値は不定のため、定義域はR^2-{(0,0)}とします。）の(x,y)→(0,0)における極限値を考えるときに、連続で、f(x,y)にある確定した極限値を与える、(0,0)を通る曲線はy=0の他に存在するかどうか、という話でしょうか？
確かにy=0に沿って(x,y)を(0,0)に近づけたとき、f(x,y)は１に近づきます。
しかし多変数関数f(x,y)が(0,0)で連続であるための必要十分条件は(x,y)が、どんな曲線に沿って(0,0)に近づいても、ある一定の極限値をとることです。
つまり上記のことからわかるのは

多変数関数f(x,y)=x^y(定義域はR^2-{(0,0)})が(x,y)=(0,0)で連続になるように拡張できるとき、f(0,0)=1となる。

ということです。
しかし、別の曲線、たとえば(x,(log2)/(logx))に沿って(0,0)に近づけるとf(x,y)は２に収束します。
このことと上記のことから、

f(x,y)はR^2全体で連続な関数には拡張できない。

ということがわかります。

以上のことから、x^yの連続にするために、という理由で0^0=1は導き出せません。

お礼

＞じゃあなぜx^0が連続である必要があるのですか？

よく分かりませんが、注釈が少ない理論の方が正しいことはよくあることです。
連続にならない場合は、必ず理由があります。逆に理由がなければ、連続になるのが普通です。

＞多変数関数f(x,y)が(0,0)で連続であるための必要十分条件は(x,y)が、どんな曲線に沿って(0,0)に近づいても、ある一定の極限値をとることです。

それならもう、片が付きました。
近づき方を間違っていたのです。
距離d=abs(y*log(x))
これに従えば、極限値は１になります。

＞たとえば(x,(log2)/(logx))に沿って(0,0)に近づけるとf(x,y)は２に収束します。

この式の距離を求めると、log2になります。
つまり、この曲線は、(0,0)に近づいていないから、正しい値に収束しないのです。
同じ距離でぐるぐる回っていては、収束しないですよね！

ありがとうございました。

回答No.16

orcus0930

0^xよりx^0を重要視する根拠は?

あと、z(x,y)=x^yはx=0,y=0でいかなる値を選んでも不連続です。

(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。

なんで破綻しないといけないの?

あなたは、多くの返答で
>時間が無いので、私もそれほど深くは考えてませんけど。
としているが、Wikiとか使って、あなたの考えを広めようとしてるんだろ?
もっと考えろよ。深く考えろよ
数学で定義を変えるなんていうのはそんな簡単なもんじゃない。

No8で
>それでも答が出て、それは指数法則と矛盾していないのです。
どういう答えが出るの?
まさか
(∞)^0の形になるのはすべて1になるとか言わないよな?
少なくともあなたの定義する、
x^0=1のxは実数ないし複素数なんだろ?
なんで答えが出るんだよ。

お礼

＞0^xよりx^0を重要視する根拠は?

旧No.8で説明しています。
0^xはx=0で連続でなく、x^0は（少なくともx=0以外で。私の定義に従うとx=0でも）連続だからです。
問題になっているのはx=0ですから、その時連続でない0^xを重視するのはおかしいでしょう。

＞z(x,y)=x^yはx=0,y=0でいかなる値を選んでも不連続です。

連続です。不連続と思われていたのは、距離の定義が不適当だったからです。
私の導入した距離(No.13補足)に従って原点に近づけば、連続であり、かつ、極値が１であることが分かります。

＞なんで破綻しないといけないの?

あなたは関数０＾ｙについて、微分してみましたか？
発散（＝連続性の破綻）しているのがすぐ分かる筈です。
ところが、０＾０＝０とすると、連続になってしまうのです。
これを矛盾と思いませんか？

＞(∞)^0の形になるのはすべて1になるとか言わないよな?

結果的には、そうみたいですね。
私のべき乗の定義でも、そうなりますし、多分正しいのでしょう。
もし違うというならば、反例を上げてください。

＞x^0=1のxは実数ないし複素数なんだろ?

実数で定義された式が、それより拡張された数に対しても正しい答となるのは、珍しいことではありません。

ありがとうございました。

回答No.15

ringohatimitu

＞他に連続なのがあるかどうかは、分かりませんが…

意味不明ですね。回答の補足であなたが連続性を理解してないことは明らかになりました。

0^0の定義の前に「連続」という定義を復習したらどうでしょうか？
0^0=1としてx^0(=1)はx=0で連続なのは当然ですが、それゆえx^yも(0,0)で連続だと思ってるのですか？
f(x,y)=x^y, f(0,0)=1が(x,y)に関して原点で連続であるというのは「(0,0)付近ではf(x,y)が1に近い」ということです。しかし例えばxy-平面上の曲線(x,-log(x))に沿ってfは定数1/eであり曲線上の点で原点にいくら近いものをとってきても1に近づくことはないのです。

Wikiの編集は少なくとも連続性を正しく理解してからにしても遅くはないと思いますよ。

お礼

＞それゆえx^yも(0,0)で連続だと思ってるのですか？

そんなこと、思ってませんが…

xy-平面上の曲線を決めてしまえば、それが連続かどうかは判定できるのですが、逆に、連続な曲線はy=0だけなのか、という質問には答えられるのですか？
時間が無いので、私もそれほど深くは考えてませんけど。

そういう意味で、
＞＞他に連続なのがあるかどうかは、分かりませんが…
と答えたのですが、間違ってますか？

ありがとうございました。

回答No.14

33550336

関数f:Ｒ→Ｒがｘ＝ａで連続（ただし、Ｒは実数全体）
⇔任意のε＞０に対してあるδ＞０が存在し、
｜x－ａ｜＜δならば｜f(x)－f(a)｜＜ε

これが関数が連続であることの定義です。

＞x^0はx=0で連続ですよ。
これは上の定義より、0^0＝１であることがわかって初めて言えることですよね？
なので、

＞いいえ。x^0の連続性によって１なのです。

少なくともこのことからは0^0＝１であることはいえません。

他にも多数の根拠を書いておられるようですが、現在すべてを考察する時間がありませんので、とりあえずこれだけ否定しておきます。

お礼

＞＞x^0はx=0で連続ですよ。

これは、0^0=1を定義すると、x=0でも連続です、ということです。

＞これは上の定義より、0^0＝１であることがわかって初めて言えることですよね？
＞少なくともこのことからは0^0＝１であることはいえません。

x^0が連続であるためには、0^0=1である必要がある。
だから、連続性をx^0に求めるという制限によって、１なのです。
0^0を任意に決めることが出来ないことを示しています。

ありがとうございました。

回答No.13

Tacosan

え～と,
「どんな極限値からであろうと、式を変形して、より0^0に近づくようにしてやると、極限値をいくらでも１に近づけることができるのです。」
というのと同様に
「どんな極限値からであろうと、式を変形して、より0^0に近づくようにしてやると、極限値をいくらでも１から遠ざけることができるのです。」
も正しい.
まあ, 単に「(x, y)→(0, 0) で x^y の極限値が存在しない」と言っているだけですが.

お礼

＞「どんな極限値からであろうと、式を変形して、より0^0に近づくようにしてやると、極限値をいくらでも１から遠ざけることができるのです。」も正しい.

たしかに、その通りです。
距離を適当に定義して、0^0で距離＝０、距離→０で極限値＝１が言えれば簡単なんですが…

ということで、x^yの対数を取って、ylog(x)。これを0^0との距離としましょう。
この距離を基準にして、0^0に近づいていけば、0^0=1が言えます。
＃厳密な証明は時間の関係でまだですが…

ありがとうございました。

補足

関数f(x,y)=x^y に対し、距離d(x,y)=abs(y*log(x))を導入します。
0^0に近づくとは、この距離dが0になっていくことと定義します。

回答No.12

ringohatimitu

＞値は計算できるのに、微分できない点があることですかね。
それも発散とかじゃなく。
近づき方によっては、ｘ＾０のように微分できるのも興味あります。
こういうのを位相と言うのでしょうか。

連続ですらないので微分出来ないのは当然ですね。またこういった関数の例は無数にあり特別面白いとは思えませんが（例えばsinx /x の原点での値を0と定めると不連続ですがこれに関してはどこか面白いところはあるのでしょうか？？何だか状況は似てますよね）。０における微分不可能性（あるいは不連続性）だけをもって0^0を1としようとしてるのでしょうか？

Wikipediaの編集は原則しっかりと厳密に書ける人がするべきです。でなければ読者が混乱するだけです。（６）、（７）のような「数学的に意味不明」な記述をしている状態でどんな編集をするのか興味はありますが。

お礼

＞またこういった関数の例は無数にあり特別面白いとは思えませんが

面白いかどうかは主観ですので、あなたはそう思わない、ということでいいです。

＞連続ですらないので微分出来ないのは当然ですね。

x^0はx=0で連続ですよ。
他に連続なのがあるかどうかは、分かりませんが…

＞０における微分不可能性（あるいは不連続性）だけをもって0^0を1としようとしてるのでしょうか？

いいえ。x^0の連続性によって１なのです。

＞Wikipediaの編集は原則しっかりと厳密に書ける人がするべきです。

数学的な言葉は使えても、論理的な思考ができなければ、意味不明ではなく、無意味な記述になります。それよりはましです。

ありがとうございました。

回答No.11

arrysthmia

No.7 補足
＞ 何か問題ありますか？

その意味であれば、問題ありません。
質問早々、旧 A No.7 (debukuro) さんの
＞ したければどうぞお好きなように
以来、私を含め数名が、そう答えてきています。

旧 No.17 補足 (fusem23)
＞ http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power​
＞ 紹介してもらったページ見ました。（英語できないのでOCN翻訳で）

＞ 日本のページとニュアンスがだいぶ違いますね。

＞ たとえば：
＞ いくつかの教科書が量0^0を不確定に放置しています。
＞ なぜなら、xが0に減少する時には、機能x^0と0^xは、種々の制限価値を持っているからです。
＞ しかし、これは誤りです。 すべてのx 二項式の原理が有効で 時 x = 0、y = 0および／または
＞ x = -y 必要があるならば （すべてのxのための）x^0=1を定義しなければなりません。
＞ 原理は重要すぎるので、恣意的に限定できません！ 対比によって、機能0^xはまったく非重要です。

に加えて、

旧 No.25 補足
＞ No.17で示された海外のページでは、０＾０＝１が便宜的ではないような印象も受けました。
＞ もしかしたら、日本の常識が世界とは違う可能性がある、とは思いませんか？

旧 No.27 補足
＞ No.25で示したように、私の考えと違う常識は変えていけば良いのですから。

と、あったので、
慣行の定義を否定しようとしている。その為の、

No.4 補足
＞ そうする予定でいます。
＞ Wikipediaの間違いを修正する予定なので、

だと思い。編集合戦を、予め窘めてみたのです。
そうでないのなら、結構なことです。

先の「たとえば：」が、対立する一方の意見 0^0=1 派の著者の意見を、
海外での常識かのように見せかけて引用しており、ディベート術としては不正だ
という点は、旧 A No.26 に書いた通りです。

ところで、0^0=5 の矛盾は、どうなりましたか？

お礼

＞先の「たとえば：」が、対立する一方の意見 0^0=1 派の著者の意見を、
＞海外での常識かのように見せかけて引用しており、ディベート術としては不正だ
＞という点は、旧 A No.26 に書いた通りです。

気を付けます。常識に見せかけるのは、たとえばReferenceだけにするとか。

＞ところで、0^0=5 の矛盾は、どうなりましたか？

一応No.9に書きましたので見てください。
回答が楽な方からしてますので、遅くなりました。
（けっこう休みなくお礼を書いているのですが…）

ありがとうございました。

回答No.10

Tacosan

とりあえず (4)～(7) はあまり根拠にならないと思う.
・0^y = 0 という式が y < 0 で成立しないにしても, 「それを y = 0 まで拡張する」のがなぜ不自然なのかわからない.
・関数 0^y が y = 0 で連続性が破綻しなければならない理由が不明. かりに連続性が破綻しなければならないのなら, 同じことを x^0 に対して適用してもいいはず.
・lim[(x, y)→(0, 0)] x^y が不定であることは確かだが, 「0^0=1 と矛盾しない」とはどういうことか. じゃあ 0^0 = 2 とは矛盾するのか?
・(7) にいたってはまったく意味不明. 「x^y 形式」とはどんな形式なのか?
「1 に定まる」とはどのような意味なのか?

お礼

＞とりあえず (4)～(7) はあまり根拠にならないと思う.

そうでしょうね。
でも、(4)～(7)について問題点があれば、最初の定義は間違いだということになるので、そこから問題点を指摘してくる人がいた、ということです。

＞0^y = 0 という式が y < 0 で成立しないにしても, 「それを y = 0 まで拡張する」のがなぜ不自然なのかわからない.

y > 0 で成立し、y < 0で成立しないのであれば、y = 0にどちらを適応するかは、十分に恣意的だと思われます。あなたは、y < 0の結果をy = 0に拡張しない理由を、数学的に説明できますか？

＞関数 0^y が y = 0 で連続性が破綻しなければならない理由が不明. かりに連続性が破綻しなければならないのなら, 同じことを x^0 に対して適用してもいいはず.

旧ANo.12で記述していますが、関数0^yがy = 0で微分できないからです。
その後、微分できるという主張がなかったので、私は連続性の破綻を言っているのです。
関数x^0に対し主張しないのは、微分できるからです。

＞じゃあ 0^0 = 2 とは矛盾するのか?

これだけでは矛盾しません。0^0=1の必要条件が存在すると言っているだけです。
十分条件は(8)です。

＞「x^y 形式」とはどんな形式なのか?

x(...)^y(...)というように、二つの関数を組み合わせ、べき乗の形式にした式を表します。
旧ANo.14でそういう形式の式を考え、それによって0^0=5などの必要性を述べられていましたので、それを否定するために加えました。

＞「1 に定まる」とはどのような意味なのか?

単に「１になる」でも良かったようですね。
その計算が定義域内で行われ、結果が１であるということです。

ありがとうございました。