０の０乗は０、にしたくない

質問

再び帰ってきました。
迷惑と感じる人は、スルーしてください。

Wikipediaでの議論について、気になったことを質問します。
参考：0の0乗のノート

質問は、以下のことです。
総乗：Π[n=1,y]x_n
これの帰納的な定義が、x_n=xならば、x^yの定義と同じに思えます。
　p_1 = x_1
　p_n+1 = p_n * x_n+1 (+1は添字）
そして、ΠΦ＝１と記述されています。p_0に相当します。
　p_0 = 1
つまり、x_n=0,y=0とすれば、総乗で0^0に相当する値は1です。
ほぼ同じ定義に対して、一方では未定義とし、もう一方では１であるとしています。
この違いは、どこからくるのでしょうか？
理由の一つは、x^yに連続性がないためであることは分かるのですが、定義が同じなら、結果にも同じことを期待するのではないですか？

なお、0^0=0を否定するネタとして考えているので、0^0=1を主張する意図はありません。
0^0は未定義か１であり、状況や利便性で使い分ければ良いと考えています。

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

非負実数 x と任意の実数 y に対し次のように関数 f(x, y) を定義する:
f(x, y) = 0 if x = 0, x^y otherwise.
この f(x, y) に関して以下の関係を考える:
・f(xy, z) = f(x, z) f(y, z)
・f(x, y+z) = f(x, y) f(x, z)
・f(x, yz) = f(f(x, y), z)
[問題]
この 3つの関係それぞれについて, それが正しいなら略証を, 間違っているなら反例を与えよ.

お礼

一つ目の引数に０が含まれなければ、通常のべき乗と一致し、その場合指数法則が成り立つので、３つの関係は自明である。
以下は、一つ目の引数に０が含まれる場合を検証する。

＞・f(xy, z) = f(x, z) f(y, z)
x=0またはy=0であれば、両辺共に0である。

＞・f(x, y+z) = f(x, y) f(x, z)
x=0であれば、両辺共に0である。

＞・f(x, yz) = f(f(x, y), z)
x=0であれば、f(0,y)=0であるから、両辺共に0である。

つまり、３つの関係は、定義されたf(x,y)について常に成り立つ。
色々検証してみましたが、間違いは見つかりませんでした。

多分、この関数のように、0^x=0が負の指数でも成り立てば、0^0=0と定義しても矛盾は発生しないのだと思います。

しかし、この関数は、べき乗とは呼べないものです。
それは、xの逆元が存在すればx^(-1)だからです。
通常とは異なり、この関数には0^(-1)が存在しますから、逆元でなければなりません。
x*x^(-1)をx=0で計算しましたが、1になりませんでした。

いつも厳しい指摘をしていただき感謝しています。
ありがとうございました。

回答No.7

Tacosan

あなたは, 「自由に使えるようにしたい指数法則」として次の 2つをあげています:
・a^(x+y) = a^x a^y
・a^(xy) = (a^x)^y
ところが, これらの条件のみから「x^(-1) が x の逆数である」ことは言えません. 詳しく言うと
1. この条件からいえるのは「x^(-1) x = x^0」である
2. 0 でない x に対して x^0 = 1 であることは衆人の一致するところである
3. したがって, 0 でない x に対しては x^(-1) が x の逆数であることを要請している
となります. ところが, 今は「0^0 の値をどうしようか」としているわけですから, 2 を x=0 に単純に拡張することはできません. 単純に拡張してしまうと, 結局のところ「0^0 = 1」と定義してしまっているのと同等ですから, 「0^0 の値をどのように定義しようか」という議論そのものが無意味です.
言い換えると「0^(-1) が 0 の逆元になっていない」というが, それは「0^0 = 1 である」ことを議論の前提として暗黙に仮定しているからです. つまり, 乗法に関する逆元性を要請することにより, 最初に書かれたことと裏腹にあなたは「0^0 = 1」を主張しているということになってしまっています.

お礼

そういった問題はあるのですが、Wikipedia:べき乗の定義に、xの逆元がx^(-1)と（私には見えた）記述が存在するため、それによって回答しました。１－３の過程で求めた訳ではありません。
＃表現として逆数と逆元がありますが、私は同じ意味で使用してます。
その記述によると、逆元を利用して負のべき乗を定義しているようです。
これに代わる逆元の定義あるいは負のべき乗の定義を提示いただき、それでべき乗の定義が0^x以外で変化が無ければ、再検討します。

なお、今回の提案も、負のべき乗の定義を、0の場合に限り逆元に依らずに0と定義してしまう意味であり、私が指摘できるような矛盾が存在しないことは認めます。
その場合、0^(-1)=1/0 の意味であることを明確に否定することになりますが、それが0^0=1よりも受け入れ易いとは思えません。
そういう考えが存在し得ないとまでは言えませんが…。

＞「0^(-1) が 0 の逆元になっていない」というが

私の計算したのは、0*f(0,-1) あるいは f(0,1)*f(f(0,1),-1)です。
0^(-1)*0 の計算は、不可能ですので実施していません。
この文章も、多分そういう意味だと思います。

＞最初に書かれたことと裏腹にあなたは「0^0 = 1」を主張しているということになってしまっています

確かにそういう気はしていますが…。本音はそうかも知れませんね。
主張していると受け取ってもらって、そういう観点での批判も結構です。
連続性を別にして、私は「0^0 = 1」を主張している、他の人はそれを否定している、と考えた方がすっきりするかもしれません。

ありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

すみませんが,
・あなたのいう「指数法則」とは何か
・それが「底や指数が 0 のときにも適用できる」とする「数学的根拠」
・0^0 を 1 でない値にすると, それらの「指数法則」のうち「どれが」自由に使えなくなるのか
・「（逆数の存在を許した時）」とカッコ付きでかいてあるが, ここは何の「逆数の存在を許している」のか
をお教えいただけませんか?

お礼

＞・あなたのいう「指数法則」とは何か

a^x*a^y=a^(x+y)
(a^x)^y=a^(x*y)
これによって、次の式が言えればいいのです。
0^0*0^0=0^(0+0)=0^0
(0^0)^(-1)=0^(0*(-1))=0^(-0)=0^0
これは、0^0の逆数の存在を仮定しています。この部分は証明していません。
＃何が証明なのか、理解できていないということでしょうが…

＞・それが「底や指数が 0 のときにも適用できる」とする「数学的根拠」

根拠はありませんが、できないという指摘もないので、できるという立場も存在しえます。

＞・0^0 を 1 でない値にすると, それらの「指数法則」のうち「どれが」自由に使えなくなるのか

0 にすると２番目の式、それでもないとすると、１番目の式すら使えなくなります。
0^0=2と仮定すると (2)^2=(0^0)*(0^0)=0^(0+0)=0^0=2
0^0=0と仮定すると 0=0^0=0^(-0)=0^(0*(-1))=(0^0)^(-1)=0^(-1)
これらが誤っているのは、明白だと思います。

＞・「（逆数の存在を許した時）」とカッコ付きでかいてあるが, ここは何の「逆数の存在を許している」のか

0^0の逆数ですね。これが存在するかどうかについては、肯定も否定もされていません。
存在するという立場なら、0^0=1 ですし、存在できない（または決められない）という立場なら、0^0 は未定義となります。

私の立場は、「勝手に定義したら」という助言の通り、そうなのですが、総乗の定義では0^0も含めて1にしているように見えるので、なんでだろう？という疑問を持っています。

ありがとうございました。

回答No.4

jmh

> ｙを負や小数にして考えられないから、ということですよね？
> つまり、0^0もそういう拡張がなければ、１で良いんですよね。
> それは、連続性を無視することではありますが…
>
いろいろ無視すれば「ｘ＾ｙ＝ｘ＋ｙでもいいや」と思えます。

ところで、チョット考えたんだけど…。「ｘ＾ｙを拡張する」っていうのは、結局「Ｎ×Ｎへの制限すると普通のｘ＾ｙに等しくなるような関数ｆ（ｘ，ｙ）をテケトーに選ぶこと」なんだと思うんです。でも無条件に選ぶと無数にあるので、例えば「連続なの」とかキレイな条件を付けて。で、貴方の付けている条件って、実際には「ただし０＾０＝１とする」なんじゃないかなーって。

お礼

何度も回答ありがとうございます。
さすがに最近は、回答が少なくなっちゃいました。（笑）

＞実際には「ただし０＾０＝１とする」なんじゃないかなーって。

違いはそこだけですから、そうとも言えます。
ただ、別の適当な値に決めちゃうと、（逆数の存在を許した時）指数法則が０＾０を含めた形では自由に使えなくなるということです。
今までの使い心地を損ねることなく追加できる定義が、１という唯一つの値なんです。

それは、総乗の場合に、ΠΦ＝１としているのと同じです。
これはa^0=1を表しています。
これを定義しないということも選択肢ですが、その意味は範囲が広すぎるので、その定義を加えているのだと思います。
＃総乗は、引数が集合と考えることもできるので、空集合を未定義とする選択肢はなかったかも知れませんが…
対して、0^0はその一点ですから、連続性もないとなれば、未定義としておくのも無理ないかな、と思います。

ただし、未定義にしておいても、１という定義を加えても、どちらにも矛盾がないことが言える訳ですから、両者が共存しても不思議はないのですが、世の中の大勢は１という定義を許していないようです。
さらに、未定義だから０でも何でも好きな数値を定義することが出来ると勘違いして、それがWikipediaにも載っているのが現状です。
もちろん、０と定義しても矛盾が生じないことや利便性を含めての記述であれば意味がありますが、そんなことはすっとばして、結局連続性がないことを示しているだけ。
さすがにそれは違うと言いたいので、本質問をしました。

ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

例えば総乗についてΠΦ = 1 とされても問題はないです. なぜなら, ここでは「特定の値」を想定することなく (というより「想定しようがない」という方が適切?), 全てシンボリックに扱ってるから. そして, シンボリックに扱うなら x^0 = 1 で問題ない.
だが, このような「シンボリックな操作」ではなく, 0^0 の値について考えるなら x^y の x と y を公平に扱う必要がある. 「一方を 0 にすると (他方が 0 でない限り) 『これこれの値』である, だから両方とも 0 のときの値は『これこれ』である」というのは, 議論としては片手落ちと言わざるをえないのでは?
つまり, 「定義が同じなら結果にも同じことを期待する」としても総乗の「ΠΦ = 1」がシンボリックである以上, これに相当するのはやはり同じくシンボリックな「x^0 = 1」であって, ただちに「0^0 = 1」とするのは議論が飛躍していると思います.
ぶっちゃけいえば「同じくシンボリックに 0^x = 0 なんだから 0^0 = 0 でいいじゃん」というのと「どこが明確に違うのか」ということだ.
以下蛇足だけど, 「この話は、条件を全く考慮することなく成り立つから便利と言っていたのですから、すべての値に適応できないのでは、便利とは言えないでしょう。」というくらいなら「0^0は未定義か１であり、状況や利便性で使い分ければ良いと考えています。」と言ってしまうのはダブルスタンダードのそしりを免れないのでは?

お礼

＞全てシンボリックに扱ってるから.

x/x=1 が x=0 で成り立たないという例がありますから、言いたいことは分かりますが、「シンボリックな操作」から「特定の値」について何も言えないというのはやりすぎです。
「特定の値」について言えなくなるのは、矛盾などの問題が発生する場合です。
0/0については、特定の値に決めると矛盾が発生するから未定義とするのですが、0^0=1については矛盾は発生していません。

＞「同じくシンボリックに 0^x = 0 なんだから 0^0 = 0 でいいじゃん」というのと「どこが明確に違うのか」ということだ

これが恒等式でないからです。x<0では成り立ちません。
未定義とする人もあれば、無限大という概念を持ち出す人もありますが、0 と主張する人はいないと思います。
ですから、この式は必ず x>0 という条件を付けなければなりません。
そして、正の数では常に成り立つから、0でも成り立つという主張に納得する人は少ないでしょう。

x^y に対し、私の考えは次の通りです。
y=0 なら x^y=x^0=1 特に x=0, y=0 なら 0^0=1
y>0, x=0 なら x^y=0^y=0
定義域は重なっていないし、矛盾もないように見えます。
0^0が定義できないとの思い込みは、後者がy=0でも成り立つと考えるからです。

＞ダブルスタンダードのそしりを免れないのでは?

lim[x→0,y→0]x^yを求めようとする人が、極限値までも１と勘違いするので、未定義でも仕方ないと考えました。
この形の極限値は、高校生くらいで問題に出ますからね。
それ以上の意味はありません。

上記の違いを理解していれば、0^0=1で構いません。
つまり状況とは、ちゃんとした知識を持っているかどうかです。
虚数を知らない人（小学生？）に同じ数を掛けて負の数になることはないと教えるようなものです。

ありがとうございました。

回答No.2

jmh

> そして、ΠΦ＝１と記述されています。
>
そうなの？　Πは乗法的に記す他のモノでも使うのに変だね（半群や集合の直積とか）。

> 理由の一つは、x^yに連続性がないためであることは分かるのですが、
> 定義が同じなら、結果にも同じことを期待するのではないですか？
>
「Π（空）＝１とする」も「絶対にそうしないとダメ」ってわけじゃないですよね。「Π（空）は何ーんだ」って訊かれたら「１」と答えると思うけど。Π（空）＝１は便利だし、Πのｙ（の定義域）を延ばそうっていう「気がしない」からじゃないかしら？

お礼

＞Πは乗法的に記す他のモノでも使うのに変だね

「集合 M が積 × に関する単位元 1M をもつとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1M であるとする。」と記述されています。

＞「Π（空）は何ーんだ」って訊かれたら「１」と答えると思うけど。

私もそう思います。
少なくとも「０」と答えられたら、えっ！、と思います。

＞Πのｙ（の定義域）を延ばそうっていう「気がしない」からじゃないかしら？

ｙを負や小数にして考えられないから、ということですよね？
つまり、0^0もそういう拡張がなければ、１で良いんですよね。
それは、連続性を無視することではありますが…

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「総乗で 0^0 に相当する値」じゃないことに気付かないのね....

お礼

＞「総乗で 0^0 に相当する値」じゃない

そう言えるのであれば、示してください。

ありがとうございました。