因数

質問

(１)１５ｘ(二乗)＋２ｘｙ－ｙ(二乗)＋３２ｘ＋１６の因数分解のやり方。

(２)ｘ、ｙを正の整数とするとき、１５ｘ(二乗)＋２ｘｙ－ｙ(二乗)＋３２ｘ－４４＝０を満たすｘ、ｙの値の求め方。

わからないので、途中式も含めて教えてください。

回答No.4

yhposolihp · ベストアンサー

(１)裏技と言う程ではありませんが、塾では教えられるそうです。

P=[　15(x^2)+2xy-(y^2)　]+32x+16
=(5x-y)(3x+y)+32x+16
=[ (5x-y)+4 ][(3x+y)+4 ]
=(5x-y+4)(3x+y+4)

(２)ｘ、ｙは正の整数。

15(x^2)+2xy-(y^2)+32x=44
15(x^2)+2xy-(y^2)+32x+16=60
(5x-y+4)(3x+y+4)=60

>> 3x+y+4≧8
>> 3x+y+4=10,12,15,20,30,60,
>>(5x-y+4,3x+y+4)=(p,q)
>>(5x-y+4,3x+y+4)=(6,10),(5,12),(4,15),(3,20),(2,30),(1,60)
>>p+q=8(x+1)
>>8の倍数となる組は、(6,10),(2,30)

(6,10)のとき、

5x-y+4=6
3x+y+4=10
8x+8=16

>> (x,y)=(1,3)

(2,30)のとき、

5x-y+4=2
3x+y+4=30
8x+8=32

>> (x,y)=(3,17)

　　　　上手く解いてあります。

>>もしも、わかりにくいやり方になっていたらどうしたら。

case by case で、問題ごとに絞込みを考えるしかないと思います。絞込みが思いつかない時は、全場合をやって見るしかありません。

--------

＞＞（y＾2）-2xy+[-15(x＾2)-32x＋44]＝0 となりこれを解くと、
＞＞y=x±√[16(x^2)+32x-44]　（誤植訂正。）
＞＞[16(x^2)+32x-44]=k＾2
＞＞[(4x+4)^2]-60=k＾2
＞＞(4x+4+k)(4x+4-k)=60　(kを非負の整数として一般性は保たれる。)
＞＞(4x+4+k)≧(4x+4-k)
＞＞(4x+4+k,4x+4-k)=(60,1),(30,2),(20,3)(15,4),(12,5),(10,6)

（4x+4+k）+(4x+4-k)=8(x+1)
8の倍数となる組は、(30,2),(10,6)

(30,2)のときは、

4x+4+k=30
4x+4-k=2
8x+8=32

(x,y)=(3,面倒）

(10,6)のときは、

4x+4+k=10
4x+4-k=6
8x+8=16

(x,y)=(1,面倒)
--------

回答No.5

take_5

今覗いたら、したり顔で勝手に解釈する頭の悪い奴がいる。
yの値を求める事は簡単。

＞(30,2)のときは、

＞4x+4+k=30
＞4x+4-k=2
＞8x+8=32

＞(x,y)=(3,面倒）

上の式から、xとkの値はすぐ求まるから、y＝x±kに代入するばいいだけのこと。
原式に代入する事を考えるから面倒になるんであって、そんなのは愚の骨頂。他の場合も同様にすれば計算は比較的面倒ではない。

回答No.3

take_5

丸投げは違反だから消されるだろうが、面白い問題だから消されることは覚悟で。。。。。。笑い
但し、（2）だけね。

１５ｘ＾2＋２ｘｙ－ｙ＾2＋３２ｘ－４４＝０をyの方程式と見ると、ｙ＾2-2xy-15x＾2-32x＋44＝0.となりこれを解くと
y＝x±√Ｄであり、√Ｄは当然正の整数から　Ｄ＝16x＾2＋32-44x＝k＾2　（kは非負の整数）とおくと、これは（4x＋4）＾2-k＾2＝（4x＋4＋k）*（4x＋4-k）＝60‥‥(1)と変形できる。
60＝60*1,30*2,20*3,15*4、12*5、10*6であり、4x＋4＋k≧4x＋4-kを考えると、(1)を満たす整数の組み合わせは（4x＋4＋k）*（4x＋4-k）＝（60、1）、（30,2）、（20,3）、（15,4）、（12、5）、（10、6）の6通りのみ。

以下の計算は自分でやりなさい。

補足

(1)ｘについて整理します。
１５ｘ＾２＋（２ｙ＋３２）ｘ－（ｙ－４）（ｙ＋４）・・・ここで、たすきがけで下の式にする。
＝（５ｘ－ｙ＋４）（３ｘ＋ｙ＋４）
（２）（１）から、（５ｘ－ｙ＋４）（３ｘ＋ｙ＋４）＝４４＋１６＝６０
３ｘ＋ｙ＋４≧８なので、３ｘ＋ｙ＋４＝１０、１２、１５、２０、３０、６０
このとき、（５ｘ－ｙ＋４、３ｘ＋ｙ＋４）＝（ｐ、ｑ）とおくと、この組み合わせは（６，１０）、（５，１２）、（４，１５）、（３，２０）、（２，３０）、（１，６０）
ｐ＋ｑ＝（５ｘ－ｙ＋４）＋（３ｘ＋ｙ＋４）＝８ｘ＋８＝８（ｘ＋１）だから、ｐ＋ｑが８の倍数になるのは（６，１０）、（２，３０）の2組
だから、この2組から計算すると、（ｘ、ｙ）＝（１、３）、（３、１７）これであっていますか？
もしも、わかりにくいやり方になっていたらどうしたらわかりやすくなるのか教えてください。

回答No.2

BookerL

自分でどこまで考えたかを必ず書きましょう。ここではヒントを。

（１）　二つ以上の文字がある式の因数分解では、一つの文字について整理してみるのも一つの方法です。

ｘで整理すると
　１５ｘ^2　＋　(２ｙ＋３２)ｘ　－　ｙ^2　＋　１６
＝１５ｘ^2　＋　(２ｙ＋３２)ｘ　－　(ｙ＋４)(ｙ－４)

　たすきがけで

　　　　　　３　　　　　　ｙ＋４
　　１５　　　　　　　　　　　　　　　－(ｙ＋４)(ｙ－４)　　
　　　　　　５　　　　　－（ｙ－４）
　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　２ｙ＋３２

として、因数分解できます。

（２） （２）の式＝（１）の式－６０　となっているので、
上の結果を使って、

　　　(　　　)(　　　)＝６０

の形にできます。かけて６０になる整数の組み合わせを順番に作って連立方程式を解く、ということになるでしょう。

補足

(1)ｘについて整理します。
１５ｘ＾２＋（２ｙ＋３２）ｘ－（ｙ－４）（ｙ＋４）・・・ここで、たすきがけで下の式にする。
＝（５ｘ－ｙ＋４）（３ｘ＋ｙ＋４）
（２）（１）から、（５ｘ－ｙ＋４）（３ｘ＋ｙ＋４）＝４４＋１６＝６０
３ｘ＋ｙ＋４≧８なので、３ｘ＋ｙ＋４＝１０、１２、１５、２０、３０、６０
このとき、（５ｘ－ｙ＋４、３ｘ＋ｙ＋４）＝（ｐ、ｑ）とおくと、この組み合わせは（６，１０）、（５，１２）、（４，１５）、（３，２０）、（２，３０）、（１，６０）
ｐ＋ｑ＝（５ｘ－ｙ＋４）＋（３ｘ＋ｙ＋４）＝８ｘ＋８＝８（ｘ＋１）だから、ｐ＋ｑが８の倍数になるのは（６，１０）、（２，３０）の2組
だから、この2組から計算すると、（ｘ、ｙ）＝（１、３）、（３、１７）これであっていますか？
もしも、わかりにくいやり方になっていたらどうしたらわかりやすくなるのか教えてください。

回答No.1

Tacosan

(1)
まず 2次の項だけで因数分解してみてください. 1次の項 (と定数項) はその結果から連立方程式を解けば求まります.
(2) 明らかに (1) の結果を使う (+ 整数であることを利用する) 問題ですね.