実数X、Yが関数式X二乗＋2Y二乗を満たして変化する。

質問

実数X、Yが関数式X二乗＋2Y二乗を満たして変化する。

(1)Xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)X＋Y二乗の最大値と最小値を求めよ。

回答No.4

mister_moonlight

x＾2＋2y＾2＝4、とすると　2y＾2＝4-x＾2≧0　から　｜x｜≦2 ‥‥(1)

x＋y＾2＝x＋(1/2)*(4-x＾2)　であるから、2(x＋y＾2)＝-(x-1)＾2＋5　‥‥(2)

よって、(1)の範囲で(2)の最大値と最小値を求める事になる。
(1)は、上に凸のxの2次関数だから、グラフを書くと直ぐわかるが、x＝1で最大値が5/2、x＝-2で最小値が-2.

回答No.3

info22_

(1)
x^2+2y^2=4…(A)
4-x^2=2y^2≧0
x^2-4=(x-2)(x+2)≦0
∴-2≦x≦2　…(B)

(2)
x+y^2=kとおくと
y^2=k-x≧0より　x≦k …(C)
y^2=k-x…(E)を(A)に代入
x^2+2(k-x)=4
x^2-2x+2k-4=0 …(F)
xの実数条件から
判別式D/4=1-(2k-4)=5-2k=-2(k-5/2)≧0
∴k≦5/2 …(D)
(B),(C),(D)より
∴-2≦k=x+y^2≦5/2
最大値 「5/2」, 最小値 「-2」
k=-2(=最小値)の時 x=-2,y=0
k=5/2(=最大値)の時 (F),(E)より　x=1,y=±1

お礼

とても助かりました！

ありがとうございました(^O^)

回答No.2

mister_moonlight

では、優しく想像力を働かせて答えてみよう。

x＾2＋2y＾2＝a、とすると　aをa≧0の定数とする。
2y＾2＝a-x＾2≧0　から　｜x｜≦√a　‥‥(1)

x＋y＾2＝x＋(1/2)*(a-x＾2)　であるから、2(x＋y＾2)＝-(x-1)＾2＋a＋1　‥‥(2)

あとは、(1)の範囲で(2)の最大値と最小値を求める事になる。
これは、上に凸の2次関数だし、おそらくaは具体的な数字が与えられているだろうから、単純な問題になる。

続きは、自分でやって。

補足

ありがとうございます！

けど、
問題間違えてました。
すいません(´・_・｀)

X二乗＋2Y二乗＝4
でした。

もう一度、
教えてください。

回答No.1

ta20000005

問題文を正確に書く習慣をまず身につけること。みながみな優しく想像力を働かせて答えてくれるものでも無いから。