０の０乗は１、にしたい（続き）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
の続きです。

０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。
でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。

そこで、べき乗（累乗）の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

なお、常識的には…という話は、遠慮願います。
＃Wikipediaも変わりますので。

これまでの議論で主張したこと：
(1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。
(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。
(3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外）
(4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。
(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。
(6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。
(7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。
(8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。

たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。
＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

回答No.5

ringohatimitu · ベストアンサー

前回の質問におけるたくさんの回答者さんの結論ではっきりと終わってると思いますが結論は「自然数を相手にする限りその定義で問題無い」です。自然数の指数のやり取りだけが問題になってるのですから。他への関連性は全くないです。更にそのように定めて何か得することがあるのかと言えば皆無だと思います。0^0を定義しなければならない状況にこれまで遭遇したことは多分無かったと思います。便宜上0!=1と定義することは多々ありましたが（ただこの場合は階乗の拡張であるΓ関数と矛盾することがない、すなわちΓ(n)=(n-1)! (n≧1)ですがn=0として自然に連続に拡張できる）。
連続性が絡んでくると0^0をどのように定めてもx^yは連続にはならないことはすでに示されてます（例えばlim[x→∞] x^{-1/(log x)} (=1/e)から明らかですね）。

以下個人的意見ですが数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。上で挙げた階乗との比較ですが0^0の場合は連続に拡張できることもなく単にその値を定義しただけのように思われます。一方0!=1の定義自体何と言うこともないですが（これもこれだけでは全く面白みがない、便利なことはしばしばですが）、実は背景に「Γ関数」なるものが潜んでいて結果0!=1という定義の正当性を遥かに超えて解析、数論において数え切れないくらいの貢献をしてるということはほとんどの人が認めるところだと思います。要するに定義はどうでも良いというか何か「面白い事実（言い換えると非自明な事実）」が得られるのかということです。基礎論の人はそう思ってないかもしれませんが。

お礼

＞数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。

便利かどうかでやってたら、それは数学ではなく、算数です。
それに、０＾０＝１を定義しない数学は、浅く感じるんですよね。
もっと突き詰めて考えて、その結果定義できないという結論なら納得ですが、面倒だから定義しない、というのは、情けないです。

０＾０とその近傍の構造は、（無限大を考えるのと同じくらい）面白い事実（非自明）と思えるのですが…
それに、Wikipediaでも１つの項目になるほど、関心が高い問題だと思います。
でも、あなたに興味がなければ、無視していいです。

ありがとうございました。

回答No.9

arrysthmia

旧 A No.15 補足
＞ 誤解しています。１以外に有り得ないという主張です。
＞ 私の主張は０＾０が不定ではなく１という固有の数値になることです。

旧 A No.24 補足
＞ 私の主張は、「０＾０が１以外の数になることができない」です。

と述べ、

No.5 補足
＞ それに、０＾０＝１を定義しない数学は、浅く感じるんですよね。

とまで言っておいて、

＞ 貴方は、0^0=5 には矛盾があると主張しているようですが、何が何に矛盾するのか、
＞ 論理的に正しく書き出して見てください。まずは、そこからです。

には、答えられないのですね。

No.3 補足
＞ x=0, y=0 以外であれば、指数法則が成り立つのですから、
＞ x=0, y=0 でも成り立つと考えるのは当然でしょう

が、まるで返答になっていないことは、
No.7 に書いた通りです。

お礼

失礼しました。これのことですね？
＞x=0, y=0 以外であれば、x^y の連続性が成り立つので、
＞0^0 が定義されるのならば、
＞x=0, y=0 でも成り立つと考えるのは当然でしょう。

0^0を定義してしまうと、x^yの連続性が破れる、という問題があるということでよろしいでしょうか？
これは(6)で言っているように、矛盾しません。
どんな極限値からであろうと、式を変形して、より0^0に近づくようにしてやると、極限値をいくらでも１に近づけることができるのです。（旧ANo.14）
これは、x^yよりx^(y/2)がより１に近いからです。
この論理では１であることの証明にはなりませんが、連続性が破れていないことの証明（多分まだ穴だらけですね）には使えると思います。

よって、No.7に戻ると、指数法則も成り立つし、連続性も成り立つと考えているので、対称性は保たれています。

ありがとうございました。

回答No.8

orcus0930

No2です
No2でいいたいのは、
0^(-1)が実数の範囲に収まらなければ、0^0での指数法則が成り立たないということです。

にもかかわらず、
>x=0, y=0 以外であれば、指数法則が成り立つのですから、x=0, y=0 でも成り立つと考えるのは当然でしょう。
とするのはなぜですか?

それとも、No2での式変形を否定しますか?

お礼

0^(-1)が実数の範囲に収まらないのは理解しますが、それでも答が出て、それは指数法則と矛盾していないのです。
矛盾がなければなんでもあり、とは言いませんが、矛盾を指摘してくれないと、話が進まない気がします。

＞それとも、No2での式変形を否定しますか?

否定したい所でしたが、否定しなくても矛盾無く答が出ますので、問題ありません。

ありがとうございました。

回答No.7

arrysthmia

判っていて遊んでいるのならば、数学にまつわる知的な稚戯ということで、
無害というか、むしろ推奨されることなのですが、

No.4
＞ Wikipediaの間違いを修正する予定なので、傍観者は傍観者で構いません。

を見ると、そうも言っていられません。
＃ どこか近くの国の核実験のようですね。

No.3
＞ x=0, y=0 以外であれば、指数法則が成り立つのですから、
＞ x=0, y=0 でも成り立つと考えるのは当然でしょう。

という主張と、多くの回答者が繰り返してきた、

　x=0, y=0 以外であれば、x^y の連続性が成り立つので、
　0^0 が定義されるのならば、
　x=0, y=0 でも成り立つと考えるのは当然でしょう。

との対称性をきちんと比較した上で、再度、例の英文
"The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness."
の意味を、よく味わってみなさい。

自分のしようとしていることが、世間の慣行とは異なる個人的な趣味を
普及させようということなのだ　ということが自覚できずに、
Wikipedia の編集合戦を勃発させようというのなら、それは、
単に幼稚なだけではなく、りっぱなテロ行為です。

evangelism と terrorism は、違います。
道楽は、場所をわきまえて、行いなさい。
＃ ここの掲示板なら、OK でしょう。

お礼

どうもWikipediaの編集がいけないように言われていますが、私は正当な行為だと思います。

１．英文では注釈ではあっても、便宜的なものとして片付けられていない。
２．０＾０＝０とした場合の問題点の記述がない。
３．０＾０＝１で矛盾無く論理が展開できることの記述がない。

今までの定義が間違っているなどというつもりはないので、ご安心を。
別の定義を考えている人の紹介です。
多分、英語版と同等の記述（＋α）を加えることになると思います。
それとも、別の考え方が存在することを記述するのが許されませんか？

ただし、０＾０は中学生にも思考できる問題です。
その際に、今までならば「Wikipediaの記述のように、未定義だよ」と言えたものが、今後は、「定義は２通りあり、大人の事情で未定義としているんだよ」と答えなければなりません。
その中学生が２つの意見のどちらを信じるかは任意であり、私は意見の押し付けはしていないし、あなたが傍観者であることも非難しません。

何か問題ありますか？

回答ありがとうございました。

補足

かねての予定通り、Wikipediaのべき乗の項目に、「定義に関する問題」を追加しました。
WikiのことはWikiで、でしょうが、こちらにコメントが付いても返答します。

回答No.6

ringohatimitu

＞０＾０とその近傍の構造は、（無限大を考えるのと同じくらい）面白い事実（非自明）と思えるのですが…

構造というのは何ですか？近傍？自然数しか考えてないはずですよね？0付近で何らかの位相を入れてるのでしょうか。「具体的に」面白い事実を挙げてください。突き詰めれば突き詰めるほどあなたの議論の穴が出てくるばかりかと思いますが。

＞便利かどうかでやってたら、それは数学ではなく、算数です。
数学でも算数でも一緒ですよ。数学で便利性から～を定義するなんてことは数え切れないくらいあります。また初等整数論なんかは小学生にも理解できるかと。よく算数、数学をしっかり分けたい人がいるようですがね。

お礼

＞自然数しか考えてないはずですよね？

自然数以外も考えていますよ。ただ、数学的な厳密さで、実数についての定義を導入できないだけです。（実力がないので）

＞0付近で何らかの位相を入れてるのでしょうか。

多分そういうことです。位相と言われてもピンと来ませんがね。

＞突き詰めれば突き詰めるほどあなたの議論の穴が出てくるばかりかと思いますが。

予想される穴でも教えてもらえれば、頑張って埋めてみます。

＞「具体的に」面白い事実を挙げてください。

値は計算できるのに、微分できない点があることですかね。
それも発散とかじゃなく。
近づき方によっては、ｘ＾０のように微分できるのも興味あります。
こういうのを位相と言うのでしょうか。

ありがとうございました。

回答No.4

take_5

＞この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

所詮、自分の問題。それがどこかで問題になった時に、君が周囲から相手にされないだけで他の人には何の影響もない。
多くの人から繰り返されているが、君がそうしたければ好きにしなさい。それだけの事。
挑発して楽しんでいるとしか思えない。馬鹿馬鹿しい。。。。。。笑

お礼

＞他の人には何の影響もない。
＞君がそうしたければ好きにしなさい。それだけの事。

そうする予定でいます。
Wikipediaの間違いを修正する予定なので、傍観者は傍観者で構いません。（今はお礼で忙しいですが）

ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

＞ １以外では矛盾が生じます。

その理解が、問題です。本当に、そうでしょうか？

＃ http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html​の No.27 から続き：
＃ 補足で再質問をした後、締め切っておられたので、戸惑いました。
＃ 続きのようなので、こちらに書き込みます。

旧 A No.27 (arrysthmia)
＞ 貴方は、0^0=5 には矛盾があると主張しているようですが、何が何に矛盾するのか、
＞ 「論理的に正しく」書き出して見てください。まずは、そこからです。

それへの補足 (fusem23)
＞ それ以外での根拠としては、
＞ 0^0=0^(-0)=1/0^0
＞ です。これを満たすのは１だけですね。
＞ とりあえず、これからでどうでしょう。

それは、
x^(-y)=1/(x^y) が、x=0, y=0 でも成り立つ
と考えていることになりますね。
x^y の連続性は、x=0, y=0 では破れてもかまわないとしながら、
指数法則は、x=0, y=0 でも成り立つと仮定する、その理由は何ですか？

その選択の恣意性が、旧 A No.7 (debukuro) さんの早期に指摘したこと、
貴方が、旧 A No.17 で引用した Wikipedia の実際の論旨でもある
According to Benson (1999), "The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness."
なのでしょう。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html での、多くの回答者の返答が、
「したければ好きにしなさい。しかし、それは標準的でない。」であったことも、参考に。

お礼

＞指数法則は、x=0, y=0 でも成り立つと仮定する、その理由は何ですか？

x=0, y=0 以外であれば、指数法則が成り立つのですから、x=0, y=0 でも成り立つと考えるのは当然でしょう。
0^0=1 を認めなければ、数学の他の法則に注釈が必要になってしまう良い例ですね。

標準的かどうかの議論とは、まったく関連ありません。

ありがとうございました。

回答No.2

orcus0930

前の質問でも書いたが
指数法則
a^(x*y)=(a^x)^y
をもちいて、

0^0
=0^(-0)
=0^(-1*0)
=(0^(-1))^0
=1

としなければならなくなる。

お礼

＞=(0^(-1))^0
＞=1

実際に、私の出した定義に従うと、これもその通り、なんですが、
0^(-1)は一般に無限と言われていて、その扱いが難しいので、
これで合っている、とまでは言いません。
ただし、そう考えたとしても、矛盾は生じないみたいですね。
つまり、指数法則とは矛盾しません。

ありがとうございました。

回答No.1

okg00

ｘ＾（ｎ－１）
n=0の場合、x/0なので不定。

それは、
x=0の場合でも
x/x→1(実際は0/0は不定)
だっていうのと同じですよ。

お礼

＞ｘ＾（ｎ－１）
＞n=0の場合、x/0なので不定。

これだけでは、何が言いたいのか分かりません。
負の指数乗の問題点を指摘しているでしょうか？
それなら、ｘが０の時は、従来の定義でも「定義できない」です。
私の理解間違いなら、またコメントください。

ありがとうございました。