べき乗の定義は負の整数へと拡張できるのか

質問

べき乗の定義は
(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数
となります。

この定義が、このまま負の整数へと拡張できるかどうかを考えてみました。

p=0 へと拡張するならば、
(A) a = a^0 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^0=1 となり a=0 なら 0^0 はどんな値も許され、0^0 は「不定」と言われます。
いずれにせよ、(1)(2)が成立するように a^0 の値を選ぶことができます。

p=-1 へと拡張するならば、さらに
(B) a^0 = a^-1 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^-1=1/a となり a=0 なら 0^0=0 とした上で 0^-1 はどんな値も許されます。

さらに続けていくと、
(3) a^0 = 1 ただし a≠0
(4) a^(-p) = 1/(a^p) ただし a≠0, p は整数
(5) 0^(-p) = 0 ただし p は整数
という式が成立するように値を選ぶなら、べき乗の定義を負の整数へと拡張できることが分かります。

ところが、これでは 0^0=0 と確定してしまい、未定義になってくれません。
そこで、「不定」という概念を生かせないか考えてみます。

0^0 を「不定」であるとしておくなら、(B)は a=0 を代入して
(C) 0^0 = 0^-1 * 0
であり、0^-1 もまた「不定」と解釈することができます。

ところが、「不定」と 0 との積がどうなるかを決定することができません。
この積を 0 と仮定するなら、0^0=0 ですし、「不定」と仮定すれば、(A) が成立しません。

どうすれば、0^0 が「不定」であることを、数学的に証明できるのでしょうか？

回答No.18

中村 拓男（@tknakamuri）

ところで質問は何故

「どうすれば、0^0 が「不定」であることを、数学的に証明できるのでしょうか？」

となっているんでしたっけ？　こんな証明は意味ないと思うんですが
何かに必要なんですか？

お礼

この質問のキッカケについては、＃４のお礼欄に記述しています。

べき乗の定義そのものからは 0^-1=0 となることが示せたと考えているので、目的は達成でしょう。

もちろん、実際のべき乗がそれと異なっていたとしても、それは私の考えを否定するものではありません。
それはべき乗の定義に「歴史的に積み重ねた規則」を加えたもののことなのですから、私がその時に言及したものとは別ものですから。

回答ありがとうございました。

回答No.17

中村 拓男（@tknakamuri）

>私は、一般的な数学において、0^0 は不定で 0^(負) は未定義とされているので、
>それに至る理論を示していただきたいだけなのです。
>常識的なことなので、誰にも疑問の余地がないものが、簡単に示せる筈ですよね？

相変わらず必然性に逃げ込みますね。前進が無いな～

利便性、合理性、無矛盾性を鑑みて、歴史的に積み重ねた規則の集積に過ぎないです。
0^(負)が未定義なのはゼロ割に解釈できるので、未定義が合理的だからという判断です。

肝心なのは、べき乗の定義を変更すれば、あなたのべき乗とわれわれのべき乗が
異なってしまい、さらに関連する数学の規則が変質して同じ数学では
なくなってしまう恐れがあることです。

そうなればあなたが 0^0=1 といっても、「それはあなた独自の数学の世界では」
といわれるだけです。

ではでは。

お礼

> 0^(負)が未定義なのはゼロ割に解釈できるので、未定義が合理的だからという判断です。

何らかの歴史的な事情によって、そう判断されたのですね？
では、べき乗の定義を拡張しても、それが証明できないのは無理ないですね。

私の質問は、べき乗の定義を負の整数へと拡張しても、
0^0 が不定だとする証明は得られないのではないか、ということでしたから、
あなたも同じ解釈であるのなら、問題ないです。

回答ありがとうございました。

回答No.16

alice_44

＞ それも主観による決定ではないですか？

そのとおりですよ。
いくつも前の質問から、何人もの回答者が
繰り返し繰り返し書いているとおりです。

x^y の記号に対して、どんな関数を定義するのも自由。
ただし、
新しく定義したものは、その旨明示してから使う必要がある。

誰にとってもね。

お礼

> そのとおりですよ。

私はそれを否定する意図など、最初からありません。

べき乗の定義を拡張したら 0^0 が必然的に不定になるというのではなくて、
主観による決定だと分かれば十分ですよ。

多分、「0^-1 は未定義であると定義されている」という風に教えられたんでしょ？
私には、その日本語は分かりかねますが、どうせ今の数学はそんなもんなんでしょうね。

回答ありがとうございました。

回答No.15

alice_44

←A No.12「お礼」欄
＞　通常の数学において、不能を解とすることはありません。
＞　よって、場合分けした結果においても、0^0=0 であると判断します。

そこが間違い。
不能なものは不能なのであって、それを正しく判断するのも数学のうち。
0^-1 が不能にならないように 0^0 は 0 にしとこ…というのは、
「しとこ」の部分が、主観による決定であって、
必然的に 0^0 = 0 が導かれたのではなく、そうしたいからそうしたに過ぎない。

そうすることは自由なのだが、皆が認める理論からの帰結によって
そうせざるを得なかったかのように話をすり替えるのは、良くない。
これが、毎度毎度、君に指摘し続けていることなのだ。

「場合分けした結果においても、0^0=0 であると判断します。」を
「場合分けした場合にも、0^0=0 に取り決めたいと思います。」等に
改訂するなら、何も間違ってはいないのだが。

お礼

> 不能なものは不能なのであって

0^-1 が不能となる場合と不定となる場合の２つの解を示した筈です。
もし、これから必然的に不能という結論になるのなら、
それも主観による決定ではないですか？

必然的に 0^-1 が導かれたのではなく、そうしたいからそうしたに過ぎない。
理論からの帰結によって、そうなったかのように話をすり替えるのは、良くないですね。

回答ありがとうございました。

回答No.14

中村 拓男（@tknakamuri）

#13 です。0x0 とか 0x(-1) と書いてあるところは
0^0 と 0^(-1)に読み替えてください。単なるタイポです。

＃最近老眼+7インチタブレットなので(^^;

お礼

了解しました。

回答No.13

中村 拓男（@tknakamuri）

ちょっと整理します。

まず (1) を p=0、a=0 に拡張すると 0x0=不定。となります。
これは p=0, a=0 で(1)の方程式が成立する、つまり 0x0 が何らかの値をもつという前提を
加えたからです。

(2) を p=0, -1, a=0 に拡張すると 0^0=不定=0^(-1) x 0

が定義される必要があるので 0^0=0, 0^(-1)=不定 となります。

これも p=0, -1, a=0 で(2)の方程式が成立する、つまり 0x(-1) が何らかの値を持つという
前提が加わっているからです。

0^0 と 0^(-1)　の値が存在するとう体系の中だからこういう答えが
出てくるわけですが、一般に 0^(負) は未定義(値を持たない)なので、
これは既存のべき乗とは別のfusem23さんの独自のべき乗です。

fusem23さんの目論見(0^0=1？)は 0x(負) を含まない指数法則の式だけで組み立てないと
相手にされないと思いますよ。

お礼

> 0^0 と 0^(-1)　の値が存在するとう体系の中だからこういう答えが
> 出てくるわけですが、一般に 0^(負) は未定義(値を持たない)なので、
> これは既存のべき乗とは別のfusem23さんの独自のべき乗です。

私は、一般的な数学において、0^0 は不定で 0^(負) は未定義とされているので、
それに至る理論を示していただきたいだけなのです。
常識的なことなので、誰にも疑問の余地がないものが、簡単に示せる筈ですよね？

その証明を諦めて、「一般に 0^(負) は未定義(値を持たない)」ので 0^(-1) が何らかの値を持つ筈がないとするのであれば、それはただ自分が正しいんだという主張に過ぎません。

それに、元となるのは単なる連立方程式の解き方ですから、0^0 を x で表し 0^-1 を y で表して
0 = x * 0
x = y * 0
という２つの式の解が何になるか答えなさい、という問題です。
単なる連立方程式を解く場合にも、0^(負) が未定義というのが関係しますか？

この時に、x は不定で y は不能と答えても、それを元の式に代入して正しいことを確認することはできません。
唯一正しいと確認ができるのは、x=0 で y は不定とした場合だけではありませんか？

元の式に代入して式が成り立つものを解というのですから、解はこれ以外にはありません。

また、方程式を解く場合において、変数が何らかの値を持つかどうかは解く過程において示すことであって、何らかの値を持つかどうかで場合分けするなどという話は聞いたことがありません。

回答ありがとうございました。

回答No.12

alice_44

依然として、「不定」という名の一つの値が
あると考えているようにしか見えないのだが。

0 = x ＊ 0 の x は不定であり、
これが実方程式であれば任意の実数、
複素方程式であれば任意の複素数、
有理方程式であれば任意の有理数
が x となり得る。
x がそのどれであれ、x ＊ 0 の値は 0。

方程式 x = y ＊ 0 を考えるならば、
x の値で場合分けが必要で、
x = 0 の場合 y は不定(何でもよい)、
x ≠ 0 の場合 y は不能(解が存在しない)
となる。

y が存在するように x = 0 とするならば、
x の不定解の中から、君が自分の都合で
x = 0 を選んだことになり、方程式の解として
自然に x = 0 が出てきた訳ではない。

(不定)/0 の値は？とか、トンチンカンなことを
考えてるから、アタリマエのことが見えなくなる。
不定値を含む算式の値は、その不定値に依存する。
場合分けが必要であり、(不定)のまま
計算が進められる訳ではないということ。

お礼

場合分けをしてみます。

0^0=0 の場合は、(C)にその値を代入して
0 = 0^-1 * 0
となり、0^-1 は不定（何でも良い）となります。

0^0≠0 の場合は、(C)に例えば 0^0=1 を代入して
1 = 0^-1 * 0
となり、0^-1 は不能（解が存在しない）となります。
なお、0^0=1 としたのは分かりやすく示しただけであり、0^0≠0 であれば、同じ結果となります。

つまり、(A)(B)の両方が成り立つように 0^0 と 0^-1 を決定するなら、
0^0=0, 0^-1 は不定
0^0≠0, 0^-1 は不能
のどちらかの組み合わせになりますが、通常の数学において、不能を解とすることはありません。

よって、場合分けした結果においても、0^0=0 であると判断します。

回答ありがとうございました。

回答No.11

alice_44

＞　「不定」と 0 との積がどうなるかを決定することができません。

何言ってんだか。
x が、不定方程式 0 = x * 0 の解(の中のどれか)であれば、
x がどの解であるにせよ、x * 0 の値は 0。方程式自体に、そう書いてある。

＞　どうすれば、0^0 が「不定」であることを、数学的に証明できるのでしょうか？

不定なのは、0^0 じゃなく、方程式 0^1 = x * 0 の解 x。
不定だから、0^0 を「0^1 = x * 0 の解 x のこと」と定義することはできない。
0^1 = x * 0 の無数にある解のうち、どれが 0^0 なんだ？とツッコマレる。
単に、(A) が 0^0 の定義にゃならないってだけのこと。

方程式の解が不定というのは、
未知数が「不定」という名の値を持つってことではない。

お礼

「不定」と 0 との積が決定できないと言っているのは、
(C) 0^0 = 0^-1 * 0
という式の 0^-1 * 0 を指しています。
この式は 左辺が「不定」となっていますから、積がどうなるか決定できないと言っているのです。

ただし 0^-1 がどんな値であっても、0 を掛ければ 0 と考えるなら、
(C) は 0^0 の定義ということになり、0 だということです。

> 方程式の解が不定というのは、
> 未知数が「不定」という名の値を持つってことではない。

そうですね。実際には何らかの数なのですから、0 との積は 0 ですよね。

回答ありがとうございました。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

>もし、0^-1 が「不定」とか「不能」とかいう訳の分からない
>ものだったとしても、(2)を２回使えば
>0^1 = 0^-1 * 0 * 0 = 0

(1)で a=0 から直接導けます。

>が成立することが分かります。
>結合法則が成り立つのなら、(C)の計算結果が 0^0=0 であるのは明らかです。

全然明らかではないので具体的に導いてみてください。

お礼

0^1 = 0^-1 * 0 * 0 = 0

ですから、結合法則により

0^-1 * 0 * 0 = 0^-1 * (0 * 0) = 0^-1 * 0 = 0

(C) 0^0 = 0^-1 * 0

ですから、0^0=0 となります。

回答ありがとうございました。

回答No.9

yukichance

0^0はね、不定でなくて、空っぽよ（空集合）
空っぽを、空っぽ乗するって、意味わからん・・・

お礼

0^0 については 1 とするのも自然、0 とするのも自然とされています。

空っぽを、空っぽ乗するって、意味わからん…という理由ではありません。
むしろ、空集合の０乗という考えでは、0^0=1 とされています。

回答ありがとうございました。