積分について

質問

積分について

∫(0から∞)exp[-x]x^(-1/2)dx=√(π)
となることを証明してください。

xのべき乗が正の整数だったら分るんですが、負のべき乗は分りません。
分りやすい解説をお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

y = √x で置換積分して、
あとは、「ガウス積分」について本を読む。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

∫[0→∞] exp(-x)/√x dx
=2∫[0→∞] exp(-t^2) dt　　（t=√xで置換）

I=∫[0→∞] exp(-t^2) dt　とおく。
I^2
={∫[0→∞] exp(-t^2) dt}^2
=∫[0→∞] exp(-x^2) dx ∫[0→∞] exp(-y^2) dy　
=∫[0→∞]∫[0→∞] exp{-(x^2+y^2)} dxdy
=∫[0→∞]∫[0→π/2] exp(-r^2) r drdθ （直交座標系(x,y)を極座標系(r,θ)に変換）
=π/4
∴I=√π/2

　従って、求める積分は　√π　となる。