整式、式の値

質問

問　
x^2＋y^2=45、1/x＋1/y=1/2、xy>0のときxyを求めよ。
（「^2」は二乗です）

解
1/x＋1/y=1/2の両辺にxyをかけて、
y+x=1/2xy、xy=2(x+y)

ここからどうすればいいでしょう。。

回答No.3

issei999 · ベストアンサー

まず、与式を次のように変えます。
　（X＋Y)＾２ー２XY＝４５
ここで、X＋Y＝1/2XYを代入します。すると、
　（1/2XY)^２ー２XY＝４５
　1/4（XY)^2ー２XY＝４５
　（XY)^２ー８XYー１８０＝０
ここで、XY=Sとおきます。
　S^2ー８Sー１８０＝０
（S-１８)(S＋１０）＝０

ゆえに、S=１８　Oｒ　S=-10
　XY>0より
　XY=１８
となります。

回答No.2

noname#24477

対称式（ｘ、ｙを入れ替えても同じ式になる）は
基本対称式で表せる。（２文字の場合は　ｘ＋ｙ　と　ｘｙ）

ｘ＋ｙ＝ｓ，ｘｙ＝ｔ　と置く。

x^2+y^2＝(x+y)^2-2xy＝s^2-2t＝４５
1/x+1/y＝(x+y)/xy＝s/t=1/2　ゆえにｔ＝２ｓ
ｓ，ｔについての連立方程式なので簡単に解けるでしょう。

方針は＃１さんと同じです。
この基本対称式で直す、というのはテクニックとして知っているといいと思います。
数学の本質にもつながります。

回答No.1

TK0318

はじめの式の両辺に2xyを加えて
x^2+y^2+2xy=45+2xy
(x+y)^2=45+2xy
x+y=xy/2より
xy=aとおくと
a^2/4=45+2a
a^2=180+8a
a^2-8a-180=0
(a-18)(a+10)=0
a=18,-10
a>0よりa=18