収束について

質問

収束について

なんで、
Σ(n=1,∞)(1/n)
はn→∞の時発散するんでしょうか？
n→∞だから∞のときは0になって和はある一定の値に収束するんじゃないでしょうか？
意味が分りません。
お願いします。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

No.5 6 を読んで、「平均値定理」について
カケラでも調べものをしてみたならば、
解りにくい箇所があるにしても、
そのような補足質問にはならないだろうと思います。
必要なキーワードは既に埋め込んでありますから、
あとは自分で調べてみるか、
ポイントの欲しい回答者の登場を待ってください。

お礼

わかりました。
ありがとうございました。

回答No.6

alice_44

噛んで含めて教えてもらおう…ではなくて、
何かヒントを拾ったら、かじりついて調べて
読みこなそう…というのでなければ、
独学は不可能だと思いますが。

ともあれ、説明を試みます。

まず、「積分の平均値定理」というのがあって、
閉区間 [a,b] で連続な関数 f について、
∫[a,b]f(x)dx = f(c)・(b-a) となる c が
開区間 (a,b) の中に存在します。

これを ∫[k,k+1](1/x)dx にあてはめれば、
∫[k,k+1](1/x)dx = 1/c, k ＜ c ＜ k+1 である
ような c が 存在することになります。
0 ＜ k ＜ c ですから、1/k ＞ 1/c。
したがって、1/k ＞ ∫[k,k+1](1/x)dx です。

この式を、左辺ごと右辺ごとに
k = 1,2,3,… n で総和すれば、
Σ[k=1,n](1/k) ＞ Σ[k=1,n]∫[k,k+1](1/x)dx。
右辺は、積分区間をつなげて、
= ∫[1,n+1](1/x)dx となります。

これが、No.3 の不等式ですね。
∫[1,n+1](1/x)dx = log(n+1) であることは、
自分で本でも引いてください。

補足

f(c)・(b-a) となる c が開区間 (a,b) の中に存在します。
ここから意味が分りません。
唐突すぎてどうしてこういう考えになるのか分りません。

回答No.5

alice_44

各項を、それより小さい数と比べてみましょう。

　 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + …
＞ 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + …
＝ 1/1 + 1/2 + (1/4 × 2) + (1/8 × 4) + …
＝ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …

ね、少なめに見積もっても、
項数が増えるに従って、和はドンドン大きくなるでしょう？

No.3 の評価方法を理解するには、
各 [k,k+1] の区間で ∫(1/x)dx に平均値定理を使えばよいのです。

∫[k,k+1](1/x)dx = (1/c)・{ (k+1)-k } となるような
c が、k < c < k+1 の範囲に存在しますから、
1/k > 1/c = ∫[k,k+1](1/x)dx。

これを k=1,2,3,…,n でΣすれば、
Σ[k=1,n](1/k) > Σ[k=1,n]∫[k,k+1](1/x)dx = ∫[1,n+1](1/x)dx。
右端に n+1 が出てくる理由も、この式で解りますね。

補足

すいません。平均値の定理あたりから全く意味が分りません。
上の方はなるほどと理解できましたが、下の方が一つも理解できません。
頭悪いんで、alice_44がこれくらいで理解できるだろうということも思われていても自分にとってはこれよりもっとさらに基本的なことをふまえて説明していただかないとチンプンカンプンです。alice_44はおそらく高学歴の持ち主なんでしょうが、自分はほんとに高校の勉強すらまともにできない身分なんです。もしかしたら中学校、小学校の範囲もできないかもしれません。勉強しなかったのが悪いんだと言われたらそれまでなんですが、できるだけ分りやすい方法で教えていただけないでしょうか？

回答No.4

OKXavier

カンで考えても判りません。
きちんと理論で考えるようにしましょう。

部分和Snが、
　Sn=Σ(k=1,n)(1/k)>∫[1,n+1](1/x)dx=log(n+1)
ですから、ｎ→∞　で　Sn→∞　となり、収束しません。

補足

log(n+1)
だから発散するということは理解できましたが、なぜ、
Σ(k=1,n)(1/k)>∫[1,n+1](1/x)dx
になるのか分りません。
なぜ、和集合の方が大なりになるんでしょうか？
反比例のグラフの積分が和集合より小さいというのが理解できません。
また、なぜ積分はnまでじゃなくてn+1までなんでしょうか？
お願いします。

回答No.3

kentarou2333

無限に小さいものを無限個足したらどうなるでしょうか？

それが今回の問題です。

足す数が無限に小さくなってしまいますが、足す個数も
無限個あります。

そのため、足していくのがどれぐらい小さくなるかで、
収束したり、収束しなかったりします。

例えば、

1/1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/5, ...

という数列の和を考えてみてください。
1/n が n 個ずつ並んでいる数列ですが、これも無限に
小さくなっていきますが、この和を計算すると、

1/2 の終わりまでの和で、合計は 2。

1/4 の終わりまでの和で、合計は 4。

同様に
1/n の終わりまでの和は n になってしまいます。

これでは、数列は 0 に近づいていますが、その和は、
どこまで行っても増えていって、収束はしません。

逆に、

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, ...

というような数列の場合、どこまで足しても 1 に近づいていく
だけです。（是非、電卓か Excel で計算してみてください）

さきほどの数列と比べると、小さくなり方が全然違うのが分かるかと
思います。

結局、最初に書いた

「無限に小さいものを無限個足したらどうなるでしょうか？」

というのは、

「無限に小さいっていうのはどれぐらい小さいのか？」

によって、収束したり、収束しなかったりします。

ちなみに、1/n の合計は、

n=10000 で 10 ぐらい。
n=100000 で 12 ぐらい
n=1000000 で 14 ぐらい。
n=10000000000 で 23 ぐらい。

というように、どこまで足して、数列の小さくなり方が遅いので、
収束することはありません。

お礼

色々な例をあげてくださりありがとうございました。
非常に分りやすい説明でした。
また、よろしくお願いします。

回答No.2

koko_u_u

設問を正しく把握しましょう。

>Σ(n=1,∞)(1/n)
>はn→∞の時発散するんでしょうか？

ではなくて

>Σ(n=1,N)(1/n)
>はN→∞の時発散するんでしょうか？

です。

>∞のときは0になって和はある一定の値に収束するんじゃないでしょうか？

塵もつもれば山となる場合もある、ということです。

回答No.1

Tacosan

「0 に近い値」を「とてもたくさん」加えているわけだから, この 2つのバランスによって収束したり発散したりします.

補足

つまりn→∞の場合は収束するんじゃないですか？限りなくゼロに近づくものを加えるわけですから。
なんで発散なのか意味不明です。