回転行列によって面積が変更されないことの証明

質問

現在、表題のとおりの問題で困っています。

平面上に三角形を構成する３点があるとき、下記の一次変換によってその3点を移動することを考えます。

回転行列
| X |　=　| cosβ －sinβ　|| x |
| Y |　　　| sinβ cosβ　　|| y |

このとき、移動先の３点によって構成される三角形の面積が元の三角形の面積と変わらないことを証明したいのですが、どうしたら良いのでしょうか。

ご教授ください。

回答No.6

arrysthmia

証明のしかたは、「面積」の定義にもよるかと思います。

ヒルベルト流に、面積を図形の三角形分割による分割等積で定義するなら、
合同な三角形の面積が等しいことは、面積の定義そのものです。
証明は、「回転移動された三角形は、もとの三角形と合同」で完了です。

リーマンやルベーグの積分を定義とするなら、
三角形でなく、矩形分割による分割等積で考えていることになりますから、
合同な三角形が等積であることの証明には、多少計算が必要になります。
三角形の面積公式を作ってしまうのが、直接的で簡明です。

面積公式として、ヘロンの公式を使うなら、
「回転移動は線分の長さを変えない」ことを示せば証明になります。

(二辺の積)×(その挟角の sin)／2 や、そのバリエーションである
(底辺)×(高さ)／2 を面積公式として使うなら、
「回転移動は長さも角度も変えない」ことを示す必要があります。
もっとも、「角度」の定義を少し掘り下げて、
「角度とは、余弦定理によって定義されるもののことである」とすれば、
結局、回転移動によって角度が変わらないことは、長さが変わらないこと
によっている訳ですが。

もっと一般に、二重積分の置換積分公式を経由する方法もありますが…

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5112/juhe.html

回答No.5

koko_u_

>余弦定理を使って、それぞれの辺の長さが変わらないことを証明しようとしたのですが、
>余弦定理で使われる、対角の角度が、変換後も等しくなることが証明できませんでした。

じゃあ、それを書かないと。
「できません」としか記載がないから誰もアドバイスらしいことができないんだよ。

回答No.4

reiman

任意の２点ａ=（ａ１，ａ1）＾Ｔとb=（b１，b1）＾Ｔ
の
距離＝（ａ－ｂ）＾Ｔ（ａ－ｂ）が変換によって不変であることを示すだけでＯＫです。
３辺の長さが不変であれば3角形の面積は不変なので面積を出す必要はありません。

回答No.3

jo-zen

実際に計算すればわかると思いますが、変換後の図形の面積は行列式の絶対値に等しくなります。以下のURLを参考にしてみてください。

　　http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~shika/math/linear/

図形を角β回転させることは、座標系を角（－β）回転させることと実質的には同じですから、面積が変わらないことは明らかですが。

お礼

ありがとうございます！

補足

>変換後の図形の面積は行列式の絶対値に等しくなります

これは変換後の図形の面積の「拡大率」が行列式の絶対値に等しいということですよね？

だとすると、すごい良く分かりました。
つまりこの変換行列の行列式は、 cosβ^2 + sinβ^2 = 1となり、結果面積は変わらないということですね！

すごくすっきりしました。
ありがとうございます！

回答No.2

noname#75273

>> 平面上に三角形を構成する３点があるとき
３点をA , B , C とする。このとき三角形の面積は、平行移動させても値は変わらないため、原点O , A , B として考えても問題ないです。

次に、A (x_1 , y_1) , B (x_2 , y_2) としたとき、
移動前の三角形の面積を、あらわせるかどうかです。

お礼

ありがとうございます！

補足

>原点O , A , B として考えても問題ない

この言葉で思い出しました...。

(１/２)| x_1y_2－ x_2y_1 |という三角形の面積の公式がありましたね。

この式を使って変換後の面積と比べれば良いのですね。

ありがとうございます！

回答No.1

koko_u_

もちろん、移動する前と後の三角形の面積は計算したんですよね。
補足にどうぞ。

お礼

そうか、ベクトルで考えて、内積のベクトル成分の計算を行えば、cosβも計算できますね。

そして、外積まで思いつけば、結局のところ行列式の問題にいきつくわけですね。

ありがとうございました。

補足

余弦定理を使って、それぞれの辺の長さが変わらないことを証明しようとしたのですが、余弦定理で使われる、対角の角度が、変換後も等しくなることが証明できませんでした。

回転したときにそれぞれの点が構成する角度が変わらないことはどうやったら証明できるのでしょうか。

それとも方向性が間違っているのでしょうか。