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線形代数での対称行列と回転行列
- 線形代数における3次元の回転行列を用いて、X軸、Y軸、Z軸に対する軸対称（回転対称）の公式を導く方法を教えてください。
- 線形代数における2次元の回転行列に関して、θ=πの場合の回転行列と軸対称（回転対称）の行列が異なることについて説明してください。
- 質問者が提示した回答において、2次元の軸対称（回転対称）の行列が間違っている理由を教えてください。
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おそらく、2Dと3Dの軸対象ごちゃごちゃになっているんでしょう。 >3Dでx軸対称の移動がxy平面対称と等しい事よくわかっていません。 等しくはないです。資料が間違っています。
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- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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>xy平面での対称と、xz平面での対称は異なります（7ページ目）。 xy平面の対称の行列は少し間違ってますが、異なりますね。 >x軸対称がxy平面対称と等しいです。 y軸対称がyz平面対称と等しいです。 z軸対称と同じくになる平面対称は記載されていません・・・ 2Dのx軸対称が3Dのxy平面対称と等しいと言っているのですか？ 本来は2Dのx軸対称が、3Dのxy平面対称とxz平面対称と等しい です。 3Dのx軸対称は、yz平面で切ると2Dの原点対称になります。
補足
何度もご回答本当にありがとうございます。 ＞xy平面の対称の行列は少し間違ってますが、異なりますね。 3Dのxy平面対称とxz平面対称は等しいということですが、 xy平面とxz平面は等しいのか異なるのかどちらなのでしょうか？ 理解できないのは、軸対称と平面対称の関係です。 3Dでx軸対称の移動がxy平面対称と等しい事よくわかっていません。 x軸対称なのになぜ、xy平面（zと法線方向）なのでしょうか？ 以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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>3次元のzx平面の面対称は2次元における x軸対称に相当すると考えています。 これは、3次元におけるxの軸対称ではないの でしょうか？ 面対称になっているものを2Dにしたら→xy平面で切ったものになります。 この時、2Dでのx軸対称。 3Dでx軸対称と言ったらxy平面にもxz平面にも切れる→y方向にもz方向にも対称を作れる。 >対称な移動を考える場合に、3次元において平面を使って 作ることはしないのでしょうか？ ?
補足
いつもご回答ありがとうございます。 http://school.gifu-net.ed.jp/ena-hs/ssh/H22ssh/sc3/31001.pdf では、 xy平面での対称と、xz平面での対称は異なります（7ページ目）。 x軸対称がxy平面対称と等しいです。 y軸対称がyz平面対称と等しいです。 z軸対称と同じくになる平面対称は記載されていません・・・ 理解力がなくて申し訳ありませんがもう少しお付き合い下さいm（_ _）m ご回答よろしくお願い致します。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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>xyz座標でxz平面対称とx軸対称は異なるでしょうか？ 面対称では、y軸しか反転しません。 x軸対称では、それに直交する事がy軸とz軸の両方が反転できます。 xy平面に射影を取れば一見どちらも一緒に見えますが、3次元では別物です。
補足
ご回答ありがとうございます。 すいません。 ちょっと理解出来ていません・・・ 具体的に例えば、 Y ↑ Z・→X の3次元の座標系があるとします。 Zの正方向は手前です。 3次元のzx平面の面対称は2次元における x軸対称に相当すると考えています。 これは、3次元におけるxの軸対称ではないの でしょうか？ 対称な移動を考える場合に、3次元において平面を使って 作ることはしないのでしょうか？ 申し訳ございませんが、ご回答よろしくお願い致します。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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>つまり、3次元の軸対称移動の 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 から、3行と3列を除いて（縮退？）導くということなのでしょうか？ 3行目と3列目とはz成分に相当するのでしょうか？ 3次元でx軸で回転させた場合、x-y平面またはx-z平面ではx軸対称となります(θ=π+2πnのときのみ)。 結局、高次元で回転させたものの射影をとっているだけです。 x-y平面しか見ないようなz軸を必要としないならば、それを欠いても良いということです。 別平面でも同じです。 >y軸における回転行列は、 cosθ 0 -sinθ 0 1 0 sinθ 0 cosθ で、y軸対称な移動はθ=πを代入すれば良いのでしょうか？ また、z軸も同様でしょうか？ 同様です。いろいろなパターンを試してみて、確かにそうなることは自分の目で確かめてください。
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞いろいろなパターンを試してみて、確かにそうなることは ＞自分の目で確かめてください。 自分でやってみます。 ちょっと気になったのですが、 xyz座標でxz平面対称とx軸対称は異なるでしょうか？ http://school.gifu-net.ed.jp/ena-hs/ssh/H22ssh/sc3/31001.pdf の資料をみたのですが、軸対称と平面対称がイマイチ理解できません・・・ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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補足で、 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 でx-y平面を表したかったら、ｚを含む3行と3列を除けば 1 0 0 -1 となることから確かめられます。 x-y平面で回転 cosθ -sinθ sinθ cosθ を考えたい場合、実は3次元では cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 となります。y軸回転を考えたい場合は、2行と2列に cosθ 0 -sinθ 0 1 0 sinθ 0 cosθ のように行と列を挿入するだけです。
補足
ご回答ありがとうございます。 つまり、3次元の軸対称移動の 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 から、3行と3列を除いて（縮退？）導くということなのでしょうか？ 3行目と3列目とはz成分に相当するのでしょうか？ y軸における回転行列は、 cosθ 0 -sinθ 0 1 0 sinθ 0 cosθ で、y軸対称な移動はθ=πを代入すれば良いのでしょうか？ また、z軸も同様でしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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>2次元の場合は、原点を回転軸として考えていましたが >これがz軸に相当するのでしょうか？ その通りです。 >x軸で折り返す（x軸対称）ようにする行列はどのように… その考えでOKです。3次元で考えたものを輪切りしたものが2次元といった認識でいいとおもいます。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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角度は回転軸と直行する方向に張りますよね？
補足
ご回答ありがとうございます。 2次元の場合は、原点を回転軸として考えていましたが これがz軸に相当するのでしょうか？ x軸で折り返す（x軸対称）ようにする行列はどのように 作られるのでしょうか？ 1 0 0 1 をx軸で折り返す（x軸対称）な行列は、 1 0 0 -1 になると認識しているのですが、間違いでしょうか？
- Tacosan
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「どこが間違っているのでしょうか」と言われると どのような操作なのかを理解せずただ記号で遊んでいるだけというところが間違っている としか言いようがない....
補足
ご回答ありがとうございます。 ｘ軸に関する対称移動を表す１次変換の行列を 説明したサイトを以下に示します。 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_trance1.html 理解できない点は、3次元で考えた対称移動の手法を2次元で 考えるとつじつまが合わなくなってしまう点です。 対称移動の根本が理解できていないのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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cosθ -sinθ sinθ cosθ は、z軸を軸にした回転でしょう？
補足
ご回答ありがとうございます。 x軸対称とはx軸で折り返すことではないのでしょうか？ 2次元なのにz軸が存在するのでしょうか？
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞資料が間違っています。 理解できました。 ＞2Dと3Dの軸対象ごちゃごちゃになっているんでしょう。 もう一度頭を整理します。 ありがとうございました。