すみませんが、再び・・。

質問

以前に下記の事を質問したのですが、パウリ行列などが出てきてよく分からないまま、回答が途絶えてしましました。もう少し質問できれば良かったのですが、時間が過ぎてしまったので・・。そこでもう一度質問をさせていただきました。

座標平面上の点を原点周りにθだけ回転する線形変換をfθで表しさらにそこからφだけ回転する線形変換をfφとしたときの事で
まず、fθ○fφ＝fθ＋φを証明したいのです。
ここで、普通に考えれば確かにそうなることは分かるのですが、証明となるとどう手順を踏めばいいのでしょうか？

あとfθ○fφを表す行列を行列の積を用いて求めていきたいです。これはまったく手が付けられず困っています。合成変換の場合はどうなるのか？

最後に上の行列がfθ＋φを表す行列にひとしいことを利用して、証明したいのですがこれは上が分からないので・・・・。

sin(φ+θ)=sinφcosθ+cosφsinθ
cos(φ+θ)=cosφcosθ+sinφsinθ

この問題で、初めの問題は定義から考察してくれとあったのですが。それを含めておねがいします。

回答No.1

uranasu · ベストアンサー

平面上のθだけの回転は２元２次の行列で以下のように
表現できます。
(cosθ、-sinθ)
(sinθ、 cosθ)

回転後の座標を(X)　、開店前の座標を(x)　とすると
　　　　　　　(Y)　　　　　　　　　(y)
以下の積で表現される。

(X) =（cosθ、-sinθ)(x)
(Y) 　(sinθ、 cosθ)(y)

θだけ回転した後にφ回転すると

(X)＝(cosφ、-sinφ）　×(cosθ、-sinθ)　(x)
(Y) (sinφ, cosφ) (sinθ、 cosθ) (y)

となる。
行列の積を計算すると
(cosφ、-sinφ）　×(cosθ、-sinθ)　
(sinφ, cosφ) (sinθ、 cosθ)

＝(cosφcosθ-sinφsinθ、-cosφsinθ-sinφcosθ）
(sinφcosθ+cosφsinθ、-sinφsinθ+cosφcosθ)

＝(cos(φ+θ)、-sin(φ+θ))
　(sin(φ+θ)、cos(φ+θ)）

となる。
よってθだけ回転した後にφだけ回転したのと、
最初からφ+θだけ回転したの同じになる。
以上で証明は終わる。

なお、あなたが示したcosの加法定理は
cos(φ+θ)=cosφcosθ+sinφsinθ
ではなく
cos(φ+θ)=cosφcosθ-sinφsinθ
が正しいのである。