証明方法について

質問

座標平面上の点を原点周りにθだけ回転する線形変換をfθで表しさらにそこからφだけ回転する線形変換をfφとしたときの事で
まず、fθ○fφ＝fθ＋φを証明したいのです。
ここで、普通に考えれば確かにそうなることは分かるのですが、証明となるとどう手順を踏めばいいのでしょうか？

あとfθ○fφを表す行列を行列の積を用いて求めていきたいです。これはまったく手が付けられず困っています。合成変換の場合はどうなるのか？

最後に上の行列がfθ＋φを表す行列にひとしいことを利用して、証明したいのですがこれは上が分からないので・・・・。

sin(φ+θ)=sinφcosθ+cosφsinθ
cos(φ+θ)=cosφcosθ+sinφsinθ

是非よろしくお願いします！

回答No.3

grothendieck

下の回答で
　dU/dθ = -iσ
は
　dU/dθ = -iσU(θ)
に訂正して下さい。

回答No.2

grothendieck

mezasedaikenさん、こんにちは。角θの線形変換を表わす行列をU(θ)とします。θが無限小の場合を考えてみると、
　[1]→[ 1]　[0]→[-θ]
　[0]　[θ]　[1]　[ 1 ]　
と変換されます。したがって　
　dU/dθ = -iσ
ここで
　σ = [0 -i]
　　　[i　0]
はパウリ行列(の一つ)です。上の方程式をU(0)= I の条件の下に解くと、
　U(θ) = exp(-iθσ)
となります。これからfθ○fφ＝fθ＋φは明らかです。σ^2 = I (単位行列)なのでU(θ)は
　[cosθ -sinθ]
　[sinθ　cosθ]
となります。これと
　exp(-i(θ+φ)σ) = exp(-iθσ)exp(-iφσ)
から
sin(φ+θ)=sinφcosθ+cosφsinθ
cos(φ+θ)=cosφcosθ-sinφsinθ
も明らかです。

回答No.1

kazhanako

もう学校を卒業して２０年以上たつのでずばり回答できないのですが、線形、非線形が専攻だったので、考えてみた
のですが、ヒントぐらいしかでてきません。

２ｘ２の行列から固有値が求められますよね。
固有値の実部が左上に向う２つの実部。虚部が右上に向う２つに相当し、虚部が回転の角度に対応していたと思います。
手元にテキストなしの記憶ではここまでしかアドバイス
できません。ヒントになれば幸いです。