確率論

質問

問題1
確率変数Ｘの確率密度関数が次で与えられるとき、以下を答えよ。
fx(x)=c/(3x+1) (1≦ｘ≦２）と０（その他）
（１）定数ｃ
（２）Ｐ（Ｘ≦(3/2)
(3)E(X)

問題２
∫（1/4+x＾2)dx

宜しくお願い致します

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

（１）＞∫[1→2]{c/(3x+1)}dx=1よりcを求める。
logを自然対数として、
3x+1=tとおくと、3dx=dt、dx=(1/3)dt
x=1でt=4、x=2でt=7
∫[1→2]{c/(3x+1)}dx=∫[4→7](c/t)(1/3)dt
=(c/3)∫[4→7](1/t)dt=(c/3)(logt)[4→7]
=(c/3){log7-log4}=(c/3)log(7/4)=1より
c=3/log(7/4)・・・答え
（２）＞X=3/2のときt=9/2+1=11/2
∫[1→3/2]{c/(3x+1)}dx=(c/3)∫[4→11/2](1/t)dt
=(c/3)(logt)[4→11/2]=(c/3){log(11/2)-log4}
=(c/3)log(11/8)=log(11/8)/log(7/4)・・・答え
（３）＞E(X)=∫[1→2]{cx/(3x+1)}dx
=(c/3)∫[4→7]{(t-1)/3}(1/t)dt
=(c/9)∫[4→7]{(1-1/t)dt
=(c/9)∫[4→7]1dt+(c/9)∫[4→7]{(1/t)dt
=(c/9)(t)[4→7]+(c/9)log(7/4)
=(c/9){3+log(7/4)}={1/3log(7/4)}{3+log(7/4)}
=1/log(7/4)+1/3・・・答え
問題２
＞x/2=tとおくとdx=2dt、不定積分公式より
∫1/(4+x^2)dx=(1/4)∫1/(1+x^2/4)dx
=(1/4)∫1/{1+(x/2)^2}dx
=(1/4)∫{1/(1+t^2)}2dt=(1/2)∫{1/(1+t^2)}dt
=(1/2)tan-1(t)

お礼

ありがとうございます！
助かりました！！！！