数学 至急に教えて欲しい問い

質問

放物線y＝２x2＋４tx＋４tの頂点は、tが正の値をとって変化するとき、どのような曲線を描くか。
です。

私はとりあえず÷２をして
y＝x2＋２tx＋２t
＝(x＋t)2－t2＋２t
放物線の頂点をp(x.y)とする
x＝－t(1)　y＝－t2＋２t(2)
(1)より　t＝－x
これを(2)に代入して
y＝－(－x)2＋２(－x)
＝－x2－２x

を答えとしましたが、無茶苦茶だと思います。
正しい答えを教えて下さい。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

y=2(x+t)^2+2t(2-t)
頂点の座標を(p,q)とすると
p=-t,
q=2t(2-t)
=-2p(2+p)
=-2(p^2+2p)
t>0より　p<0
流通座標になおすと
頂点の軌跡は
y=-2(x^2+2x) (x<0)

お礼

早い回答ありがとうございますm(＿ ＿)m
理解できました。

回答No.3

sanori

こんばんは。

微分はまだ習っていないかもしれませんが、
知っていると、このような問題は簡単に解けます。
（特に、因数分解が得意でない人）

頂点のＸ座標は、ｙをｘで微分したときにゼロとなるときのｘです。
ｙをｘで微分したもの　＝　ｙ’　＝　（２ｘ^2＋４ｔｘ＋４ｔ）’
　＝　４ｘ　＋　４ｔ

頂点のＸ座標は、
４ｘ　＋　４ｔ　＝　０　から求められ、　Ｘ座標　＝　－ｔ

Ｙ座標は、元の式に　ｘ＝－ｔ　を代入すれば良いので、
Ｙ座標　＝　２ｔ^2　－　４ｔ^2　＋　４ｔ　＝　－２ｔ^2　＋　４ｔ
つまり、
Ｙ座標　＝　－２・（－Ｘ座標）^2　＋　４・（－Ｘ座標）
　＝　－２・（Ｘ座標）^2　－　４・（Ｘ座標）

よって、求める曲線は、
ｙ　＝　－２ｘ^2　－　４ｘ

回答No.1

koko_u_

>私はとりあえず÷２をして
初めから破綻しています。

直線 y = 2x と y = x は同じではありませんね。

>を答えとしましたが、無茶苦茶だと思います。
ということはその後の論理展開も自分で理解しているわけではないということですか？